Os itens a seguir mostram pontos e um vetor diretor. Para cada item, escreva as equações paramétricas das retas e faça o estudo da posição relativa das mesmas em relação aos eixos ou planos coordenados, sabendo que as retas passam pelo ponto médio do segmento A B :
A(3,-2,1), B(5,1,4) e v=(0,2,1)

Passo 1

O enunciado pede para obter as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto médio do segmento AB, com
A=(3,-2,1), B=(5,1,4),vec v=(0,2,1),
e em seguida estudar a posição dessa reta em relação aos eixos coordenados Ox, Oy, Oz e aos planos coordenados xy, xz, yz. O conteúdo é geometria analítica no espaço: reta, equação paramétrica, interseção e paralelismo/perpendicularismo.

Passo 2

Calcular o ponto médio M de AB. Pelas fórmulas de ponto médio em R^3,
M = l(xA+xB2,,yA+yB2,,zA+zB2r) =l(3+52,,-2+12,,1+42r) =(4,,-tfrac12,;tfrac52)

Passo 3

Como a reta passa por M e tem vetor diretor vec v=(0,2,1), as equações paramétricas são
x=4+0,t, y=-tfrac12+2,t, z=tfrac52+1,t,
ou, de forma simplificada,
boxedx=4, y=-tfrac12+2t, z=tfrac52+t

Passo 4

Estudar paralelismo e perpendicularismo usando vec v=(0,2,1).
Como vec vcdot(1,0,0)=0, a reta é perpendicular ao eixo Ox e, ao mesmo tempo, paralela ao plano yz (plano x=0).
As componentes vy=2 e vz=1 não se anulam, logo a reta não é paralela nem perpendicular aos eixos Oy ou Oz, e também não é paralela aos planos xy ( z=0) nem xz ( y=0).

Passo 5

Determinar interseções com planos e eixos coordenados:
  1. Plano xy ( z=0):
    Resolver tfrac52+t=0 t=-tfrac52. Substituindo em x e y:
    x=4, y=-tfrac12+2l(-tfrac52r)=-tfrac12-5=-tfrac112
    Logo intersecta xy em l(4,,-tfrac112,0r).
  2. Plano xz ( y=0):
    Resolver -tfrac12+2t=0 t=tfrac14. Substituindo:
    x=4, z=tfrac52+tfrac14=tfrac114
    A interseção é l(4,0,tfrac114r).
  3. Plano yz ( x=0):
    Como x=4 é constante, nunca atinge x=0. Portanto não há interseção com yz.
  4. Eixos coordenados (dois zeros simultâneos):
    • Eixo Ox: requer y=0 e z=0. Solucionando dá t=tfrac14 de y=0, mas então z=tfrac114neq0, não corta Ox.
    • Eixo Oy: requer x=0 e z=0, impossível pois x=4.
    • Eixo Oz: requer x=0 e y=0, também impossível.

Resposta

Equações paramétricas:
x=4, y=-tfrac12+2t, z=tfrac52+t
Posição relativa:
  • A reta é perpendicular ao eixo Ox e paralela ao plano yz.
  • Intersecta o plano xy em l(4,-tfrac112,0r).
  • Intersecta o plano xz em l(4,0,tfrac114r).
  • Não intercepta o plano yz nem nenhum dos eixos coordenados.

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