Os itens a seguir mostram pontos e um vetor diretor. Para cada item, escreva as equações paramétricas das retas e faça o estudo da posição relativa das mesmas em relação aos eixos ou planos coordenados, sabendo que as retas passam pelo ponto médio do segmento
:
e
Passo 1
O enunciado pede para obter as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto médio do segmento
, com
e em seguida estudar a posição dessa reta em relação aos eixos coordenados
,
,
e aos planos coordenados
,
,
. O conteúdo é geometria analítica no espaço: reta, equação paramétrica, interseção e paralelismo/perpendicularismo.
Passo 2
Calcular o ponto médio
de
. Pelas fórmulas de ponto médio em
,
Passo 3
Como a reta passa por
e tem vetor diretor
, as equações paramétricas são
ou, de forma simplificada,
Passo 4
Estudar paralelismo e perpendicularismo usando
.
Como , a reta é perpendicular ao eixo
e, ao mesmo tempo, paralela ao plano
(plano
).
As componentes e
não se anulam, logo a reta não é paralela nem perpendicular aos eixos
ou
, e também não é paralela aos planos
(
) nem
(
).
Como
As componentes
Passo 5
Determinar interseções com planos e eixos coordenados:
-
Plano
( ):
Resolverdá . Substituindo em e : Logo intersectaem . -
Plano
( ):
Resolverdá . Substituindo: A interseção é. -
Plano
( ):
Comoé constante, nunca atinge . Portanto não há interseção com . -
Eixos coordenados (dois zeros simultâneos):
- Eixo
: requer e . Solucionando dá de , mas então , não corta . - Eixo
: requer e , impossível pois . - Eixo
: requer e , também impossível.
- Eixo
Resposta
Equações paramétricas:
Posição relativa:
- A reta é perpendicular ao eixo
e paralela ao plano . - Intersecta o plano
em . - Intersecta o plano
em . - Não intercepta o plano
nem nenhum dos eixos coordenados.