Calcular os limites. Após contornar a indeterminação, utilizar propriedades. Não utilizar a regra de L’Hospital.
lim x 2 sen(x-2)x^2+3 x-10

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um limite para calcular: lim x 2 sin(x-2)x^2+3 x-10. Vamos usar conceitos de limites e propriedades de funções trigonométricas para resolver isso, evitando a regra de L’Hospital. Primeiro, vamos entender o que cada parte da expressão representa e o que vamos precisar fazer para encontrar o valor desse limite.

Passo 2

Vamos começar substituindo x por 2 na expressão para ver se conseguimos encontrar o limite diretamente:
sin(2-2)2^2+3 cdot 2 -10 = sin(0)4 + 6 -10 = 00
Obtivemos uma forma indeterminada 00. Isso significa que precisamos manipular a expressão para resolver o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o denominador x^2+3x-10. Para isso, procuramos dois números que multiplicados dão -10 e somados dão 3. Esses números são 5 e -2.
x^2+3x-10 = (x - 2)(x + 5)
Agora, nossa expressão fica:
sin(x-2)(x - 2)(x + 5)

Passo 4

Podemos simplificar a fração dividindo o numerador e o denominador por (x - 2), desde que x neq 2:
sin(x-2)x - 2 cdot 1x + 5
Agora, temos duas partes que podemos analisar separadamente.

Passo 5

Sabemos que limh 0 sin hh = 1. Aqui, se deixarmos h = x - 2, quando x se aproxima de 2, h se aproxima de 0. Então:
limx 2 sin(x-2)x - 2 = 1

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite da segunda parte da expressão:
limx 2 1x + 5 = 12 + 5 = 17

Resposta

Portanto, o limite é 17.

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