Calcular os limites. Após contornar a indeterminação, utilizar propriedades. Não utilizar a regra de L’Hospital.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um limite para calcular:
. Vamos usar conceitos de limites e propriedades de funções trigonométricas para resolver isso, evitando a regra de L’Hospital. Primeiro, vamos entender o que cada parte da expressão representa e o que vamos precisar fazer para encontrar o valor desse limite.
Passo 2
Vamos começar substituindo
por 2 na expressão para ver se conseguimos encontrar o limite diretamente:
Obtivemos uma forma indeterminada
. Isso significa que precisamos manipular a expressão para resolver o limite.
Passo 3
Vamos fatorar o denominador
. Para isso, procuramos dois números que multiplicados dão -10 e somados dão 3. Esses números são 5 e -2.
Agora, nossa expressão fica:
Passo 4
Podemos simplificar a fração dividindo o numerador e o denominador por
, desde que
:
Agora, temos duas partes que podemos analisar separadamente.
Passo 5
Sabemos que
. Aqui, se deixarmos
, quando
se aproxima de 2,
se aproxima de 0. Então:
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite da segunda parte da expressão:
Resposta
Portanto, o limite é
.