Nos itens a seguir, use a relação \int_{a}^{b} f(x) d x=\lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(c_{i}\right) \Delta x para determinar o valor exato da integral definida.
\int_{0}^{4}\left(x^{2}+x-6\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular exatamente a integral definida
\int_{0}^{4}\left(x^{2}+x-6\right)\,dx
usando a definição de integral como limite de soma de Riemann:
\int_{a}^{b} f(x)\,dx=\lim_{n\to+\infty}\sum_{i=1}^{n} f(c_i)\,\Delta x.
Informações dadas e que vamos usar:
  • O intervalo de integração é [0,4].
  • A função integranda é f(x)=x^{2}+x-6.
  • A relação a usar é a soma de Riemann com uma particionamento em n subintervalos de mesmo comprimento.

Passo 2

Construir a partição e escolher pontos de amostragem. Dividir [0,4] em n subintervalos iguais:
\Delta x=\frac{4-0}{n}=\frac{4}{n}.
Escolher como pontos de amostragem os extremos direitos de cada subintervalo (é uma escolha válida que facilita as contas):
c_i=0+i\Delta x=\frac{4i}{n},\qquad i=1,2,\dots,n.
Explicação rápida: qualquer escolha de c_i em cada subintervalo dá, no limite n\to\infty, o mesmo valor da integral se f for razoável (contínua aqui). Escolhemos os extremos direitos porque as somas de potências de i são fáceis de manusear.

Passo 3

Avaliar f nos pontos c_i e formar a soma de Riemann:
f(c_i)=\left(\frac{4i}{n}\right)^{2}+\frac{4i}{n}-6=\frac{16 i^{2}}{n^{2}}+\frac{4 i}{n}-6.
Multiplicando por \Delta x=\dfrac{4}{n} obtemos o termo da soma:
f(c_i)\,\Delta x=\frac{4}{n}\left(\frac{16 i^{2}}{n^{2}}+\frac{4 i}{n}-6\right) =\frac{64 i^{2}}{n^{3}}+\frac{16 i}{n^{2}}-\frac{24}{n}.
Portanto a soma de Riemann é
S_n=\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{64 i^{2}}{n^{3}}+\frac{16 i}{n^{2}}-\frac{24}{n}\right) =\frac{64}{n^{3}}\sum_{i=1}^{n}i^{2}+\frac{16}{n^{2}}\sum_{i=1}^{n}i-\frac{24}{n}\sum_{i=1}^{n}1.

Passo 4

Usar fórmulas conhecidas para as somas fundamentais (vou justificar rapidamente a fórmula de \sum i^{2}):
  • Fórmula para a soma dos primeiros inteiros:
\sum_{i=1}^{n} i=\frac{n(n+1)}{2}.
Justificativa curta: emparelhando 1+n,\,2+(n-1),\dots obtém-se n/2 pares somando n+1, daí a fórmula.
  • Fórmula para a soma dos quadrados:
\sum_{i=1}^{n} i^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
Derivação rápida por telescópico: expandir (i+1)^{3}-i^{3}=3i^{2}+3i+1, somar i=1 a n e isolar \sum i^{2} leva à fórmula acima.
Além disso \sum_{i=1}^{n}1=n.

Passo 5

Substituir as somas em S_n:
S_n=\frac{64}{n^{3}}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{16}{n^{2}}\cdot\frac{n(n+1)}{2}-\frac{24}{n}\cdot n.
Simplificar termo a termo:
\frac{64}{n^{3}}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} =\frac{64\,(n+1)(2n+1)}{6n^{2}} =\frac{32}{3}\cdot\frac{(n+1)(2n+1)}{n^{2}},
\frac{16}{n^{2}}\cdot\frac{n(n+1)}{2} =8\cdot\frac{n+1}{n},
-\frac{24}{n}\cdot n=-24.
Então
S_n=\frac{32}{3}\cdot\frac{(n+1)(2n+1)}{n^{2}}+8\cdot\frac{n+1}{n}-24.

Passo 6

Calcular o limite n\to\infty. Expandir frações em potências de 1/n:
\frac{(n+1)(2n+1)}{n^{2}}=\frac{2n^{2}+3n+1}{n^{2}}=2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^{2}},
\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}.
Substituindo em S_n:
S_n=\frac{32}{3}\Bigl(2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^{2}}\Bigr)+8\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)-24.
Agora tomar o limite quando n\to\infty (os termos com 1/n e 1/n^{2} vão a zero):
\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{32}{3}\cdot 2 + 8\cdot 1 -24 =\frac{64}{3}+8-24.
Calcular a soma numérica:
8-24=-16,\qquad \frac{64}{3}-16=\frac{64-48}{3}=\frac{16}{3}.
Portanto
\int_{0}^{4}\left(x^{2}+x-6\right)\,dx=\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{16}{3}.

Passo 7

Checagem rápida (opcional, para sentir segurança): usar primitiva F(x)=\dfrac{1}{3}x^{3}+\dfrac{1}{2}x^{2}-6x e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo:
F(4)-F(0)=\left(\frac{64}{3}+8-24\right)-0=\frac{16}{3},
confirma o resultado obtido pela soma de Riemann.

Resposta

\dfrac{16}{3}

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