Nos itens a seguir, use a relação
para determinar o valor exato da integral definida.
Passo 1
O enunciado pede para calcular exatamente a integral definida
usando a definição de integral como limite de soma de Riemann:
Informações dadas e que vamos usar:
- O intervalo de integração é
. - A função integranda é
. - A relação a usar é a soma de Riemann com uma particionamento em
subintervalos de mesmo comprimento.
Passo 2
Construir a partição e escolher pontos de amostragem. Dividir
em
subintervalos iguais:
Escolher como pontos de amostragem os extremos direitos de cada subintervalo (é uma escolha válida que facilita as contas):
Explicação rápida: qualquer escolha de
em cada subintervalo dá, no limite
, o mesmo valor da integral se
for razoável (contínua aqui). Escolhemos os extremos direitos porque as somas de potências de
são fáceis de manusear.
Passo 3
Avaliar
nos pontos
e formar a soma de Riemann:
Multiplicando por
obtemos o termo da soma:
Portanto a soma de Riemann é
Passo 4
Usar fórmulas conhecidas para as somas fundamentais (vou justificar rapidamente a fórmula de
):
- Fórmula para a soma dos primeiros inteiros:
Justificativa curta: emparelhando
obtém-se
pares somando
, daí a fórmula.
- Fórmula para a soma dos quadrados:
Derivação rápida por telescópico: expandir
, somar
a
e isolar
leva à fórmula acima.
Além disso
.
Passo 5
Substituir as somas em
:
Simplificar termo a termo:
Então
Passo 6
Calcular o limite
. Expandir frações em potências de
:
Substituindo em
:
Agora tomar o limite quando
(os termos com
e
vão a zero):
Calcular a soma numérica:
Portanto
Passo 7
Checagem rápida (opcional, para sentir segurança): usar primitiva
e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo:
confirma o resultado obtido pela soma de Riemann.