Os itens vendidos na LojaK foram produzidos pelas fábricas F_{1}, F_{2} e F_{3}, nas seguintes proporções: 50 \%, 30 \% e 20 \% respectivamente. Segundo informações das próprias fábricas, os respecticos percentuais de itens defeituosos por lote são: 3 \%, 4 \% e 5 \%. Um item defeituoso é selecionado.
(a) Qual a probabilidade da LojaK vender uma peça defeituosa?
(b) Qual a probabilidade do item defeituoso ter sido fabricado pela F_{1} ?

Passo 1

O enunciado diz que a LojaK recebe peças de três fábricas com probabilidades \,P(F_{1})=0,5, \,P(F_{2})=0,3 e \,P(F_{3})=0,2,
e que as taxas de defeito são \,P(D\mid F_{1})=0,03, \,P(D\mid F_{2})=0,04 e \,P(D\mid F_{3})=0,05.
Para responder (a) usamos a fórmula da probabilidade total e para (b) o Teorema de Bayes.

Passo 2

Aplicando a probabilidade total para o evento D (“peça defeituosa”):
P(D) = P(F_{1})\,P(D\mid F_{1}) + P(F_{2})\,P(D\mid F_{2}) + P(F_{3})\,P(D\mid F_{3}).
Substituindo os valores:
P(D) = 0,5\cdot 0,03 + 0,3\cdot 0,04 + 0,2\cdot 0,05 = 0,015 + 0,012 + 0,010 = 0,037.

Passo 3

Para encontrar a probabilidade de ter vindo da F_{1} dado que a peça é defeituosa, usamos Bayes:
P(F_{1}\mid D) = \frac{P(F_{1})\,P(D\mid F_{1})}{P(D)} = \frac{0,5\cdot 0,03}{0,037} \approx 0,4054.

Resposta

P(\text{peça defeituosa}) = 0,037ç (ou 3,7\%) P(F_{1}\mid \text{defeituosa}) \approx 0,4054 (ou 40,54\%)

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