Os itens (xiv), (xv) e (xvi) não nos dão integrais imediatas, são propriedades que usamos durante o cálculo de uma integral. Basicamente, elas nos dizem que escalares podem sair de dentro da integral, que a integral da soma é a soma das integrais e que a integral da diferença é a diferença das integrais. Diga se há algo de errado no cálculo abaixo e justifique por que a constante ao final ficou 4 C e não apenas C.
integral(3 x^2+2) d x=integral 3 x^2 d x+integral 2 d x=3 integral x^2 d x+integral 2 d x=3(x^33+C)+2 x+C=x^3+2 x+4 C

Passo 1

O enunciado pede para verificar se há algo de errado no cálculo da integral indefinida
integral(3x^2+2),dx
eu para justificar por que o resultado apareceu como 4C em vez de um único C. O tema é a linearidade da integral, a regra do fator constante e o uso das constantes de integração.

Passo 2

Quando aplicamos a regra da soma e fator constante, escrevemos
integral(3x^2+2),dx=integral3x^2,dx+integral2,dx=3integral x^2,dx+integral2,dx
Cada uma dessas integrais indefinidas exige sua própria constante de integração: seja C₁ na primeira e C₂ na segunda.

Passo 3

Calculando cada parte com suas constantes,
3integral x^2,dx+integral2,dx=3l(x^33+C1r)+l(2x+C2r)=x^3+3C1+2x+C2
Se, por descuido, nomearmos todas as constantes como C, teremos 3C+C=4C no resultado.

Passo 4

Como as constantes de integração são arbitrárias, a soma
3C1+C2
pode ser vista como uma única constante arbitrária (digamos C’). Logo, o modo correto e mais simples de escrever a primitiva é
x^3+2x+C'
sem precisar exibir o “4C”.

Passo 5

Portanto, não há erro de conceito: basta reconhecer que usamos várias constantes e depois agrupá-las numa só.

Resposta

O “4C” surge porque foram somadas três constantes de integração iguais (3C+C), mas como toda constante de integração é arbitrária, definimos C′=4C e escrevemos a primitiva final como x³+2x+C′.

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