Os itens (xiv), (xv) e (xvi) não nos dão integrais imediatas, são propriedades que usamos durante o cálculo de uma integral. Basicamente, elas nos dizem que escalares podem sair de dentro da integral, que a integral da soma é a soma das integrais e que a integral da diferença é a diferença das integrais. Diga se há algo de errado no cálculo abaixo e justifique por que a constante ao final ficou
e não apenas
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se há algo de errado no cálculo da integral indefinida
eu para justificar por que o resultado apareceu como 4C em vez de um único C. O tema é a linearidade da integral, a regra do fator constante e o uso das constantes de integração.
Passo 2
Quando aplicamos a regra da soma e fator constante, escrevemos
Cada uma dessas integrais indefinidas exige sua própria constante de integração: seja C₁ na primeira e C₂ na segunda.
Passo 3
Calculando cada parte com suas constantes,
Se, por descuido, nomearmos todas as constantes como C, teremos 3C+C=4C no resultado.
Passo 4
Como as constantes de integração são arbitrárias, a soma
pode ser vista como uma única constante arbitrária (digamos C’). Logo, o modo correto e mais simples de escrever a primitiva é
sem precisar exibir o “4C”.
Passo 5
Portanto, não há erro de conceito: basta reconhecer que usamos várias constantes e depois agrupá-las numa só.
Resposta
O “4C” surge porque foram somadas três constantes de integração iguais (3C+C), mas como toda constante de integração é arbitrária, definimos C′=4C e escrevemos a primitiva final como x³+2x+C′.