Lembrando do que fizemos na lista Derivada da função inversa, encontre uma primitiva para as funções abaixo.
(a)
.
(b)
.
©
, em que
está fixado.
(a)
(b)
©
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo onde precisamos encontrar primitivas (antiderivadas) de funções que são inversas de funções trigonométricas e uma função que envolve uma raiz quadrada. O conteúdo envolvido inclui noções de derivadas de funções inversas e integração. Para resolver, vamos precisar conhecer as fórmulas de derivadas das funções inversas e aplicar técnicas de integração.
Passo 2
Parte (a): $ f(x) = \arcsen x $
Primeiro, lembramos que a derivada de $ \arcsen x $ é $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $. Para encontrar a primitiva de $ \arcsen x $, queremos uma função $ F(x) $ cuja derivada seja $ \arcsen x $. Para isso, usamos a integração por partes, que é uma técnica onde integramos o produto de duas funções.
Usamos:
Escolhemos $ u = \arcsen x $ e $ dv = dx $. Então, calculamos $ du $ e $ v $:
Aplicando a fórmula:
A integral restante pode ser resolvida com uma substituição simples. Seja $ w = 1 - x^2 $, então $ dw = -2x dx $, o que nos dá:
Substituindo de volta:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 3
Parte (b): $ f(x) = \arctg x $
A derivada de $ \arctg x $ é $ \frac{1}{1 + x^2} $. Para encontrar a primitiva de $ \arctg x $, novamente usamos a integração por partes.
Escolhemos $ u = \arctg x $ e $ dv = dx $. Então:
Aplicando a fórmula:
A integral restante pode ser resolvida com uma substituição simples. Seja $ w = 1 + x^2 $, então $ dw = 2x dx $, o que nos dá:
Substituindo de volta:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 4
Parte ©: $ f(x) = \sqrt{R^{2} - x^{2}} $, onde $ R > 0 $
Queremos encontrar a primitiva de $ \sqrt{R^{2} - x^{2}} $. Para isso, usamos uma substituição trigonométrica.
Vamos usar a substituição $ x = R \sin \theta $, então $ dx = R \cos \theta d\theta $ e $ \sqrt{R^{2} - x^{2}} = R \cos \theta $.
Substituindo na integral:
Usamos a identidade $ \cos^{2} \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} $:
Voltando para $ x $:
Substituindo:
Portanto, a primitiva é:
Resposta
As primitivas das funções são:
(a)
(b)
©
onde $ C $ é a constante de integração.