j)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma
. Esse é um caso típico de série telescópica, onde vamos usar decomposição em frações parciais para expor o cancelamento dos termos.
Passo 2
Para decompor em frações parciais, escrevemos:
Multiplicando ambos os lados por
e igualando coeficientes, obtemos:
que leva ao sistema
Resolvendo, achamos
e
.
Passo 3
Substituindo de volta, o termo geral fica
Somando de
até
vemos o cancelamento telescópico e obtemos
Passo 4
Para concluir, basta fazer
. Como
, a soma infinita converge para
Resposta
1/2