j) sumn=1^infty 2(4 n-3)(4 n+1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma sumn=1^infty 2(4n-3)(4n+1). Esse é um caso típico de série telescópica, onde vamos usar decomposição em frações parciais para expor o cancelamento dos termos.

Passo 2

Para decompor em frações parciais, escrevemos:
2(4n-3)(4n+1)=A4n-3+B4n+1
Multiplicando ambos os lados por (4n-3)(4n+1) e igualando coeficientes, obtemos:
A(4n+1)+B(4n-3)=2
que leva ao sistema
4(A+B)=0, A-3B=2
Resolvendo, achamos A=tfrac12 e B=-tfrac12.

Passo 3

Substituindo de volta, o termo geral fica
2(4n-3)(4n+1)=12l(14n-3-14n+1r)
Somando de n=1 até n=N vemos o cancelamento telescópico e obtemos
SN=sumn=1^N12l(14n-3-14n+1r)=12l(1-14N+1r)

Passo 4

Para concluir, basta fazer Ntoinfty. Como 14N+1to0, a soma infinita converge para
12times1=12

Resposta

1/2

Exercícios relacionados