Jado
com
, determine se
é uma operação binária e, caso afirmativo, verifique se há identidade (mesmo que neutro) e inversos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um conjunto $ B = \mathbb{Z} $ (os números inteiros) e define uma operação $ \circ $ onde, para dois números inteiros $ a $ e $ b $, temos $ a \circ b = a + b + 1 $. Nosso objetivo é verificar se essa operação é binária e, se for, descobrir se existe um elemento identidade e inversos para essa operação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma operação binária. Básicamente, uma operação binária em um conjunto $ B $ é uma regra que combina dois elementos quaisquer de $ B $ e retorna outro elemento também em $ B $.
No nosso caso, a operação é $ a \circ b = a + b + 1 $. Como estamos trabalhando com $ \mathbb{Z} $ (números inteiros), e a soma de dois inteiros mais um ainda é um inteiro, podemos concluir que:
Portanto, $ \circ $ é uma operação binária em $ \mathbb{Z} $.
Passo 3
Agora, vamos verificar se existe um elemento identidade para essa operação. Um elemento identidade $ e $ satisfaz a condição:
Aplicando a definição da operação:
Para que isso seja verdade para todo $ a $, precisamos que:
Subtraindo $ a $ de ambos os lados:
Então:
Assim, o elemento identidade é $ -1 $.
Passo 4
Por fim, vamos encontrar os inversos em relação à operação $ \circ $. Um elemento $ b $ é inverso de $ a $ se:
Sabemos que $ e = -1 $, então:
Resolvendo para $ b $:
Então, o inverso de qualquer elemento $ a $ em $ \mathbb{Z} $ é $ -2 - a $.
Resposta
A operação $ \circ $ é uma operação binária em $ \mathbb{Z} $, possui o elemento identidade $ e = -1 $ e todo elemento $ a $ em $ \mathbb{Z} $ tem como inverso $ b = -2 - a $.