Uma janela normanda tem a forma de um retângulo tendo em cima um semicírculo (o diâmetro do semicírculo é igual à largura do retângulo). Se o perímetro da janela for 10 m , encontre as dimensões da janela que deixam passar a maior quantidade possível de luz.

Passo 1

O enunciado descreve uma janela composta por um retângulo de largura w e altura h com, sobre esse retângulo, um semicírculo de diâmetro w. O perímetro externo total vale 10 m e queremos maximizar a área da janela (área do retângulo mais área do semicírculo). Vamos usar otimização com restrição, expressando primeiro h em função de w a partir do perímetro e depois maximizar a área em função de w.

Passo 2

O perímetro externo é a soma da base do retângulo, das duas alturas e do arco do semicírculo. A base tem comprimento w, as duas alturas somam 2h e o arco do semicírculo tem comprimento metade da circunferência de diâmetro w, isto é, \tfrac{\pi w}{2}. Assim a restrição é
w + 2h + \frac{\pi w}{2} = 10.

Passo 3

Isolando h em função de w:
2h = 10 - w - \frac{\pi w}{2},
h = \frac{10 - w\bigl(1 + \frac{\pi}{2}\bigr)}{2}.

Passo 4

A área total é a soma da área do retângulo, w h, com a área do semicírculo, que vale \tfrac{\pi}{8}w^2. Substituindo h:
A(w) = w\;\frac{10 - w\bigl(1 + \tfrac{\pi}{2}\bigr)}{2} \;+\;\frac{\pi}{8}\,w^2.
Desenvolvendo:
A(w) = 5w - \Bigl(\tfrac12 + \tfrac{\pi}{8}\Bigr)w^2.

Passo 5

Para achar o máximo, derivamos A(w) em relação a w e igualamos a zero:
A'(w) = 5 - 2\Bigl(\tfrac12 + \tfrac{\pi}{8}\Bigr)w = 5 - \Bigl(1 + \tfrac{\pi}{4}\Bigr)w \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(1 + \tfrac{\pi}{4}\Bigr)w = 5.
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w = \frac{5}{1 + \tfrac{\pi}{4}} = \frac{20}{4 + \pi}.

Passo 6

Substituindo w = \tfrac{20}{4+\pi} em h = \frac{10 - w(1+\frac{\pi}{2})}{2}, notamos que
1 + \frac{\pi}{2} = \frac{2+\pi}{2}, \quad w\bigl(1+\tfrac{\pi}{2}\bigr) = \frac{20}{4+\pi}\;\frac{2+\pi}{2} = \frac{10(2+\pi)}{4+\pi},
então
10 - w\bigl(1+\tfrac{\pi}{2}\bigr) = \frac{10(4+\pi) - 10(2+\pi)}{4+\pi} = \frac{20}{4+\pi},
h = \frac{1}{2}\,\frac{20}{4+\pi} = \frac{10}{4+\pi}.

Resposta

A largura e a altura que maximizam a área da janela são
w = \frac{20}{4 + \pi}\\ \text{m}, \quad h = \frac{10}{4 + \pi}\\ \text{m}.

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