Encontre dois números cuja diferença seja 100 e cujo produto seja mínimo.

Passo 1

O enunciado pede dois números x e y tais que
x - y = 100
e cujo produto P = x y seja mínimo. Vamos usar o método de redução a uma variável e a ideia de vértice de uma parábola (mínimo de um polinômio quadrático).

Passo 2

Da condição x - y = 100 temos
x = y + 100.
Substituímos isso no produto
P = x y = (y + 100)\,y = y^2 + 100y.

Passo 3

A função
P(y) = y^2 + 100y
é uma parábola com coeficiente de y^2 positivo, portanto tem um único valor mínimo dado pelo vértice. Para uma parábola ay^2 + by + c, o vértice em y está em
y = -\frac{b}{2a}.
Aqui a = 1 e b = 100, logo
y = -\frac{100}{2\cdot1} = -50.

Passo 4

Substituindo y = -50 em x = y + 100, obtemos
x = -50 + 100 = 50.
Portanto os dois números são 50 e -50, e o produto mínimo é
P_{\min} = 50 \times (-50) = -2500.

Resposta

Os números são 50 e -50, com produto mínimo igual a -2500.

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