Um fazendeiro quer cercar uma área de 15000 \mathrm{~m}^{2} em um campo retangular e então dividi-lo ao meio com uma cerca paralela a um dos lados do retângulo. Como fazer isso de forma que minimize o custo da cerca?

Passo 1

O fazendeiro quer cercar uma área retangular de 15000,m ^2 e ainda dividir esse retângulo em duas partes iguais com uma cerca interna paralela a um dos lados. O conteúdo é otimização com restrição de área fixa: vamos representar o comprimento total de cerca em função dos lados do retângulo e usar derivada para encontrar o mínimo.

Passo 2

Sejam x e y os comprimentos dos lados do retângulo (em metros), de modo que
x\,y = 15000.
Supondo que a cerca divisória seja paralela ao lado de comprimento x, ela terá comprimento x. Então a cerca total necessária é a soma de duas vezes cada lado externo mais essa divisória interna:
L(x,y) = 2x + 2y + x = 3x + 2y.
Pela restrição y = \tfrac{15000}{x}, obtemos
L(x) = 3x + 2\,\frac{15000}{x}.

Passo 3

Para minimizar L(x), calculamos a derivada e igualamos a zero:
L'(x) = 3 - 2\cdot\frac{15000}{x^2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3 = \frac{30000}{x^2} \quad\Longrightarrow\quad x^2 = \frac{30000}{3} = 10000 \quad\Longrightarrow\quad x = 100\text{ m}.

Passo 4

Com x = 100,m e xy = 15000, vem
y = \frac{15000}{100} = 150\text{ m}.
Note que, se tivéssemos escolhido a cerca interna paralela a y, o problema seria simétrico e levaria às mesmas dimensões trocadas de lugar. Assim, o retângulo ótimo mede 100,m por 150,m, e a divisória fica paralela ao lado de 100,m.

Passo 5

Substituindo em L para obter o comprimento mínimo:
L_{\min} = 3\cdot100 + 2\cdot150 = 300 + 300 = 600\text{ m}.

Resposta

O fazendeiro deve construir um retângulo de 100,m por 150,m e colocar a cerca divisória paralela ao lado de 100,m. O comprimento mínimo total de cerca é 600,m.

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