Um fazendeiro quer cercar uma área de
em um campo retangular e então dividi-lo ao meio com uma cerca paralela a um dos lados do retângulo. Como fazer isso de forma que minimize o custo da cerca?
Passo 1
O fazendeiro quer cercar uma área retangular de
,m
e ainda dividir esse retângulo em duas partes iguais com uma cerca interna paralela a um dos lados. O conteúdo é otimização com restrição de área fixa: vamos representar o comprimento total de cerca em função dos lados do retângulo e usar derivada para encontrar o mínimo.
Passo 2
Sejam
e
os comprimentos dos lados do retângulo (em metros), de modo que
Supondo que a cerca divisória seja paralela ao lado de comprimento
, ela terá comprimento
. Então a cerca total necessária é a soma de duas vezes cada lado externo mais essa divisória interna:
Pela restrição
, obtemos
Passo 3
Para minimizar
, calculamos a derivada e igualamos a zero:
Passo 4
Com
,m e
, vem
Note que, se tivéssemos escolhido a cerca interna paralela a
, o problema seria simétrico e levaria às mesmas dimensões trocadas de lugar. Assim, o retângulo ótimo mede
,m por
,m, e a divisória fica paralela ao lado de
,m.
Passo 5
Substituindo em
para obter o comprimento mínimo:
Resposta
O fazendeiro deve construir um retângulo de
,m por
,m e colocar a cerca divisória paralela ao lado de
,m. O comprimento mínimo total de cerca é
,m.