Da janela do seu quarto, você pode ver um edificio ao longe. Você consulta um mapa e descobre que o edificio está a 560 m de distância, em linha reta, da entrada da sua casa, em uma direção
ao sul do leste. As ruas do seu bairro são todas no sentido leste-oeste e no sentido norte-sul. Que distâncias você precisa caminhar para chegar ao edificio?
A) 480 m para leste e 280 m para o sul.
B) 280 m para leste e 480 m para o sul.
C) 280 m para leste e 280 m para o sul.
D) 480 m para leste e 50 m para o sul.
E) Não é possível responder sem consultar um mapa.
A) 480 m para leste e 280 m para o sul.
B) 280 m para leste e 480 m para o sul.
C) 280 m para leste e 280 m para o sul.
D) 480 m para leste e 50 m para o sul.
E) Não é possível responder sem consultar um mapa.
Passo 1
O enunciado dá que a direção do edifício, vista da entrada da sua casa, é a
ao sul do leste e que a distância em linha reta entre sua casa e o edifício é
m. A pergunta é: quais distâncias você precisa caminhar seguindo as ruas (que são apenas leste‑oeste e norte‑sul) para chegar ao edifício? Ou seja, quanto caminhar para leste (ou para oeste, se negativo) e quanto caminhar para sul (ou norte, se negativo).
Informações relevantes:
- distância em linha reta:
m; - direção:
ao sul do leste (isto é, a partir do leste gira-se em direção ao sul); - ruas só permitem movimentos puramente leste‑oeste e norte‑sul, então precisamos decompor o deslocamento em duas componentes ortogonais: uma componente leste (horizontal) e uma componente sul (vertical).
Passo 2
Ideia geométrica e trigonométrica (aulas rápidas): imagine o deslocamento como um vetor de comprimento
que forma um triângulo retângulo com as componentes horizontal e vertical. Se o vetor tem comprimento
e faz um ângulo
medido a partir do eixo leste (positivo para baixo, no caso sul), então:
- a componente horizontal (leste) vale
; - a componente vertical (sul) vale
.
Explicando o porquê das fórmulas, de forma simples:
- Em um triângulo retângulo, o cosseno de um ângulo é definido como a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa:
. Aqui, o cateto adjacente é a componente leste e a hipotenusa é . Logo cateto adjacente . - O seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa:
. Aqui, o cateto oposto é a componente sul e a hipotenusa é . Logo cateto oposto .
Variáveis:
-
é a distância em linha reta (a hipotenusa), aqui . -
é o ângulo a partir do leste em direção ao sul, aqui . - A componente leste será chamada de
. - A componente sul será chamada de
.
Passo 3
Aplicando as fórmulas às nossas variáveis:
- componente leste:
- componente sul:
Passo 4
Usando valores trigonométricos conhecidos (esses valores vêm da trigonometria básica de ângulos especiais):
-
. -
.
Substituindo:
Portanto, exatamente:
- componente sul
m; - componente leste
m.
Passo 5
Converter a componente leste para valor numérico aproximado para comparar com as alternativas:
logo
Assim, as distâncias exatas são
m (≈
m) para leste e
m para sul.
Passo 6
Comparando com as alternativas dadas:
A) m para leste e
m para o sul.
B) m para leste e
m para o sul.
C) m para leste e
m para o sul.
D) m para leste e
m para o sul.
E) Não é possível responder sem consultar um mapa.
A)
B)
C)
D)
E) Não é possível responder sem consultar um mapa.
Observação: a componente sul exata é
m, o que só aparece na alternativa A (e em C e D o valor leste ou sul não batem com ambos). A componente leste exata é
m; a alternativa A dá
m, que é a que mais se aproxima dentre as opções fornecidas (provavelmente a questão arredondou). Assim, a alternativa que corresponde corretamente ao componente sul exato e aproxima bem a componente leste é a alternativa A.
Resposta
A)
m para leste e
m para o sul.