Da janela do seu quarto, você pode ver um edificio ao longe. Você consulta um mapa e descobre que o edificio está a 560 m de distância, em linha reta, da entrada da sua casa, em uma direção 30^{\circ} ao sul do leste. As ruas do seu bairro são todas no sentido leste-oeste e no sentido norte-sul. Que distâncias você precisa caminhar para chegar ao edificio?
A) 480 m para leste e 280 m para o sul.
B) 280 m para leste e 480 m para o sul.
C) 280 m para leste e 280 m para o sul.
D) 480 m para leste e 50 m para o sul.
E) Não é possível responder sem consultar um mapa.

Passo 1

O enunciado dá que a direção do edifício, vista da entrada da sua casa, é a 30^\circ ao sul do leste e que a distância em linha reta entre sua casa e o edifício é 560 m. A pergunta é: quais distâncias você precisa caminhar seguindo as ruas (que são apenas leste‑oeste e norte‑sul) para chegar ao edifício? Ou seja, quanto caminhar para leste (ou para oeste, se negativo) e quanto caminhar para sul (ou norte, se negativo).
Informações relevantes:
  • distância em linha reta: 560 m;
  • direção: 30^\circ ao sul do leste (isto é, a partir do leste gira-se 30^\circ em direção ao sul);
  • ruas só permitem movimentos puramente leste‑oeste e norte‑sul, então precisamos decompor o deslocamento em duas componentes ortogonais: uma componente leste (horizontal) e uma componente sul (vertical).

Passo 2

Ideia geométrica e trigonométrica (aulas rápidas): imagine o deslocamento como um vetor de comprimento r que forma um triângulo retângulo com as componentes horizontal e vertical. Se o vetor tem comprimento r e faz um ângulo \theta medido a partir do eixo leste (positivo para baixo, no caso sul), então:
  • a componente horizontal (leste) vale r\cos\theta;
  • a componente vertical (sul) vale r\sin\theta.
Explicando o porquê das fórmulas, de forma simples:
  • Em um triângulo retângulo, o cosseno de um ângulo é definido como a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa: \cos\theta = \dfrac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}. Aqui, o cateto adjacente é a componente leste e a hipotenusa é r. Logo cateto adjacente = r\cos\theta.
  • O seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa: \sin\theta = \dfrac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}. Aqui, o cateto oposto é a componente sul e a hipotenusa é r. Logo cateto oposto = r\sin\theta.
Variáveis:
  • r é a distância em linha reta (a hipotenusa), aqui r=560.
  • \theta é o ângulo a partir do leste em direção ao sul, aqui \theta=30^\circ.
  • A componente leste será chamada de x.
  • A componente sul será chamada de y.

Passo 3

Aplicando as fórmulas às nossas variáveis:
  • componente leste:
x = r\cos\theta = 560\cos 30^\circ.
  • componente sul:
y = r\sin\theta = 560\sin 30^\circ.

Passo 4

Usando valores trigonométricos conhecidos (esses valores vêm da trigonometria básica de ângulos especiais):
  • \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}.
  • \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Substituindo:
y = 560\sin 30^\circ = 560\cdot\dfrac{1}{2} = 280.
x = 560\cos 30^\circ = 560\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = 280\sqrt{3}.
Portanto, exatamente:
  • componente sul y = 280 m;
  • componente leste x = 280\sqrt{3} m.

Passo 5

Converter a componente leste para valor numérico aproximado para comparar com as alternativas:
\sqrt{3}\approx 1,732,
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x \approx 280\cdot 1,732 = 484,96\\ \text{m}\approx 485\\ \text{m}.
Assim, as distâncias exatas são x=280\sqrt{3} m (≈ 485 m) para leste e y=280 m para sul.

Passo 6

Comparando com as alternativas dadas:
A) 480 m para leste e 280 m para o sul.
B) 280 m para leste e 480 m para o sul.
C) 280 m para leste e 280 m para o sul.
D) 480 m para leste e 50 m para o sul.
E) Não é possível responder sem consultar um mapa.
Observação: a componente sul exata é 280 m, o que só aparece na alternativa A (e em C e D o valor leste ou sul não batem com ambos). A componente leste exata é 280\sqrt{3}\approx 485 m; a alternativa A dá 480 m, que é a que mais se aproxima dentre as opções fornecidas (provavelmente a questão arredondou). Assim, a alternativa que corresponde corretamente ao componente sul exato e aproxima bem a componente leste é a alternativa A.

Resposta

A) 480 m para leste e 280 m para o sul.

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