8 Suponha uma corda de 10 m de comprimento e massa igual a 500 g . Uma força de intensidade 300 N a traciona, determine a velocidade de propagação de um pulso nessa corda. Gabarito: \mathbf{7 7 m} / \mathbf{s}

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a velocidade de propagação de um pulso numa corda. Dados fornecidos:
\text{comprimento da corda } = 10\\ \mathrm{m}
\text{massa da corda } = 500\\ \mathrm{g}
\text{força de tração (tensão) } = 300\\ \mathrm{N}ççãã
A pergunta é: qual é a velocidade de propagação do pulso nessa corda?

Passo 2

Primeiro preciso transformar as unidades para o sistema internacional e extrair a densidade linear de massa (massa por unidade de comprimento), porque a fórmula que uso pede essa quantidade. Conversão da massa:
500\\ \mathrm{g} = 0,5\\ \mathrm{kg}
Agora a densidade linear de massa \mu (massa por comprimento) é dada por divisão da massa pelo comprimento:
\mu = \frac{\text{massa}}{\text{comprimento}}
Substituindo os valores:
\mu = \frac{0,5\\ \mathrm{kg}}{10\\ \mathrm{m}} = 0,05\\ \mathrm{kg/m}
Explicação didática: \mu nos diz quanto de massa há em cada metro da corda. É importante usar \mathrm{kg} e \mathrm{m} para que as unidades casem na fórmula da velocidade.

Passo 3

A fórmula padrão para a velocidade de uma onda transversal numa corda tensa é
v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}
onde:
\;v\; é a velocidade de propagação (em \mathrm{m/s}),
\;T\; é a tensão na corda (em \mathrm{N}),
\;\mu\; é a densidade linear de massa (em \mathrm{kg/m}).
Pequena explicação de por que essa fórmula funciona (modo didático e resumido): considere um pequeno trecho da corda de comprimento \Delta x. A tensão nas extremidades produz uma força resultante proporcional à curvatura desse trecho; aplicando a segunda lei de Newton ( F=ma) ao trecho obtém-se uma equação de onda cuja velocidade característica é \sqrt{T/\mu}. Isso significa que quanto maior a tensão T mais rápido o pulso vai, e quanto maior a massa por metro \mu mais lento ele fica — faz sentido físico, né?

Passo 4

Verificação das unidades (pra não errar): a unidade de tensão é \mathrm{N} = \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}/\mathrm{s}^2. Assim
\frac{T}{\mu}\\ \text{tem unidades}\\ = \frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}/\mathrm{s}^2}{\mathrm{kg}/\mathrm{m}} = \mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2
e ao tirar a raiz quadrada obtemos \mathrm{m/s}, que é a unidade correta para velocidade. Bom sinal — unidades batem.

Passo 5

Agora substituo os valores numéricos na fórmula:
v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{300\\ \mathrm{N}}{0,05\\ \mathrm{kg/m}}}
Calculo dentro da raiz:
\frac{300}{0,05} = 6000
Então
v = \sqrt{6000}\\ \mathrm{m/s}

Passo 6

Vou aproximar \sqrt{6000} de forma simples e confiável, sem calculadora difícil. Conheço quadrados de inteiros próximos:
77^2 = 5929
78^2 = 6084
Como 6000 está entre 5929 e 6084, a raiz quadrada está entre 77 e 78. Faço uma interpolação linear rápida para refinar:
6000-5929 = 71
6084-5929 = 155
Fração relativa = \dfrac{71}{155}\approx 0,458. Então
\sqrt{6000}\approx 77 + 0,458 = 77,458\dots
Logo
v \approx 77,46\\ \mathrm{m/s}
Arredondando para uma casa inteira (como no gabarito), obtenho 77\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Checagem rápida de sentido físico: com tensão de algumas centenas de newtons e massa relativamente pequena por metro ( 0,05\\ \mathrm{kg/m}), uma velocidade da ordem de dezenas de metros por segundo é razoável. O valor calculado está coerente.

Resposta

77\\ \mathrm{m/s}

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