Em um jardim silencioso a intensidade física sonora é da ordem de 10^{-4} \mu \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, enquanto em um restaurante tal valor é da ordem de 10^{-1} \mu \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}. Sabendo que a menor intensidade física sonora audível (limiar de audição) é 10^{-6} \mu \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, determine o nível sonoro em decibels para o jardim e o restaurante.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar claramente os dados e o que precisa ser encontrado):
  • Intensidade sonora no jardim: I_{\text{jardim}} = 10^{-4}\\ \mu\mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
  • Intensidade sonora no restaurante: I_{\text{restaurante}} = 10^{-1}\\ \mu\mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
  • Menor intensidade audível (limiar de audição), que é a referência: I_0 = 10^{-6}\\ \mu\mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
O que o enunciado pede:
  • Determinar o nível sonoro em decibels para o jardim.
  • Determinar o nível sonoro em decibels para o restaurante.

Passo 2

Entendendo a fórmula que usamos (explicação didática e passo a passo).
  • O nível sonoro em decibels ( L) mede quão forte é um som comparado a uma intensidade de referência. Para intensidades (potências por área) usa-se a fórmula:
L = 10 \log_{10}\!\left(\frac{I}{I_0}\right)\\ \text{dB}.
  • Aqui:
    • L é o nível sonoro em decibels (dB).
    • I é a intensidade física do som que estamos medindo (em \mu\mathrm{W}/\mathrm{m}^2 neste caso).
    • I_0 é a intensidade de referência (o limiar de audição), dada como 10^{-6}\\ \mu\mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
  • Por que o fator 10 e não 20? Porque a fórmula com 10 é usada quando se compara intensidades (energia/área). O fator 20 aparece quando se usa amplitudes (como pressão sonora) porque intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude. Aqui trabalhamos diretamente com intensidades, então usamos 10.

Passo 3

Calcular o nível sonoro do jardim passo a passo.
  • Primeiro, calcule a razão \dfrac{I_{\text{jardim}}}{I_0}:
\frac{I_{\text{jardim}}}{I_0}=\frac{10^{-4}}{10^{-6}}=10^{-4-(-6)}=10^{2}=100.
  • Agora aplique a fórmula:
L_{\text{jardim}}=10\log_{10}\!\left(100\right).
  • Lembrando que \log_{10}(10^{2})=2, obtemos:
L_{\text{jardim}}=10\times 2 = 20\\ \text{dB}.
  • Interpretação curta: o limiar I_0 corresponde a 0\\ \text{dB}; um som 100 vezes mais intenso corresponde a +20\\ \text{dB}.

Passo 4

Calcular o nível sonoro do restaurante passo a passo.
  • Primeiro, calcule a razão \dfrac{I_{\text{restaurante}}}{I_0}:
\frac{I_{\text{restaurante}}}{I_0}=\frac{10^{-1}}{10^{-6}}=10^{-1-(-6)}=10^{5}=100\,000.
  • Aplicando a fórmula:
L_{\text{restaurante}}=10\log_{10}\!\left(10^{5}\right).
  • Como \log_{10}(10^{5})=5, obtemos:
L_{\text{restaurante}}=10\times 5 = 50\\ \text{dB}.

Passo 5

Resumo didático e um pouquinho de intuição (para fixar):
  • Escala em decibels é logarítmica: multiplicar a intensidade por 10 adiciona 10\\ \text{dB}; por 100 adiciona 20\\ \text{dB}; por 1000 adiciona 30\\ \text{dB}, e assim por diante.
  • Valores obtidos: 20\\ \text{dB} (jardim) é um som bem baixo — tipo sussurro distante ou folhas ao vento; 50\\ \text{dB} (restaurante) é um nível de conversa normal/ambiente de restaurante.
  • Você está indo bem — esses cálculos são rápidos de fazer na prova: basta dividir as potências, reconhecer potências de 10 e usar \log_{10}(10^{n})=n.

Resposta

Jardim: 20\\ \text{dB}
Restaurante: 50\\ \text{dB}

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