Calcule o tempo reacional e o volume do reator para atingir 90% de conversão em uma reação química de segunda ordem num reator de batelada, considerando os dados abaixo:
a) \mathrm{A}+\mathrm{B} \longrightarrow \mathrm{C}+\mathrm{D}
b) \mathrm{K}=0,60 \mathrm{~L} / \mathrm{mol}. minuto
c) \mathrm{CAo}=\mathrm{CBo}=6 \mathrm{moles} / \mathrm{L}
d) Conversão (XA) =90 \%
e) Tempo de carga = 15 minutos
f) Tempo descarga =12 minutos
g) Produção diária =6000 \mathrm{Kg} de produtos por dia
h) Densidade da mistura reagente (\mathrm{A}+\mathrm{B})=0,95 \mathrm{~kg} / \mathrm{L}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado).
Dados:
  • Reação: \mathrm{A}+\mathrm{B}\longrightarrow \mathrm{C}+\mathrm{D}.
  • Constante de velocidade: k=0{,}60\\ \mathrm{L}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{min}^{-1}.
  • Concentrações iniciais: C_{A0}=C_{B0}=6\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{L}^{-1}.
  • Conversão desejada: X_A=90\% = 0{,}90.
  • Tempo de carga: t_{\text{carga}}=15\\ \mathrm{min}.
  • Tempo de descarga: t_{\text{descarga}}=12\\ \mathrm{min}.
  • Produção diária requerida: 6000\\ \mathrm{kg/day}.
  • Densidade da mistura reagente (A+B): \rho=0{,}95\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{L}^{-1}.
O enunciado pede:
  1. Calcular o tempo reacional (tempo de residência no batelada durante o qual ocorre a reação) necessário para atingir X_A=0{,}90.
  2. Calcular o volume do reator (volume de carga por batelada) que permite obter a produção diária de 6000\\ \mathrm{kg} dados os tempos de carga, reação e descarga.

Passo 2

Entendendo a modelagem e as variáveis (a “receita” que se usa em prova).
Definições e raciocínio passo a passo:
  • Em reator batelada, fazemos balanço de mols de A. A concentração de A no tempo t é C_A(t). A conversão é definida por
X_A=\frac{C_{A0}-C_A}{C_{A0}}.
Logo
C_A=C_{A0}\,(1-X_A).
  • A lei de velocidade para reação do tipo A+B de segunda ordem elementar é
-r_A = k\,C_A\,C_B,
onde r_A é a velocidade de consumo de A em \mathrm{mol}\cdot\mathrm{L}^{-1}\cdot\mathrm{min}^{-1}, e k tem unidades compatíveis (aqui \mathrm{L}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{min}^{-1}).
  • Como C_{A0}=C_{B0} (condição equimolar), durante a reação mantêm-se iguais as concentrações instantâneas: C_A=C_B. Assim a velocidade fica
-r_A = k\,C_A^2.
  • Relação entre r_A e conversão: como C_A=C_{A0}(1-X_A),
-\frac{dC_A}{dt}=C_{A0}\frac{dX_A}{dt}.
Igualando:
C_{A0}\frac{dX_A}{dt}=k\,C_A^2=k\,C_{A0}^2(1-X_A)^2.
  • Simplificando a expressão obtemos a equação diferencial que liga X_A e t:
\frac{dX_A}{dt}=k\,C_{A0}\,(1-X_A)^2.
Esta é a equação que vamos integrar para achar t em função de X_A.

Passo 3

Integração para obter a expressão analítica do tempo reacional (mostrando cada passo para a prova).
Separando variáveis:
\frac{dX_A}{(1-X_A)^2}=k\,C_{A0}\,dt.
Integramos dos limites X_A=0 em t=0 até X_A qualquer em t:
\int_{0}^{X_A}\frac{dX_A}{(1-X_A)^2}=\int_{0}^{t}k\,C_{A0}\,dt.
Calcule a integral no lado esquerdo. Fazendo u=1-X_A dá (ou usando primitiva conhecida):
\int\frac{dX_A}{(1-X_A)^2}=\frac{1}{1-X_A}+C.
Portanto, avaliando os limites:
\left[\frac{1}{1-X_A}\right]_{0}^{X_A}=\frac{1}{1-X_A}-1.
O lado direito é simplesmente k\,C_{A0}\,t. Igualando:
\frac{1}{1-X_A}-1=k\,C_{A0}\,t.
Rearranjando para t:
t=\frac{1}{k\,C_{A0}}\left(\frac{1}{1-X_A}-1\right).
Observação útil para prova: essa expressão também pode ser escrita de forma compacta como
t=\frac{X_A}{k\,C_{A0}(1-X_A)},
pois \dfrac{1}{1-X_A}-1=\dfrac{X_A}{1-X_A}. Guarde essa forma — é rápida para calcular conversões pedidas.

Passo 4

Aplicando a fórmula para X_A=0{,}90 com os números dados (passo a passo numérico e checagem de unidades).
Usando
t=\frac{X_A}{k\,C_{A0}(1-X_A)}.
Substituindo X_A=0{,}90, k=0{,}60\\ \mathrm{L}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{min}^{-1} e C_{A0}=6\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{L}^{-1}:
t=\frac{0{,}90}{0{,}60\cdot 6\cdot(1-0{,}90)}.
Calcule o denominador:
0{,}60\cdot 6=3{,}6\quad\text{e}\quad 1-0{,}90=0{,}10.
Logo
t=\frac{0{,}90}{3{,}6\cdot 0{,}10}=\frac{0{,}90}{0{,}36}=2{,}5\\ \mathrm{min}.
Checagem de consistência de unidade: k\cdot C_{A0} tem unidades (\mathrm{L}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{min}^{-1})\cdot(\mathrm{mol}\cdot\mathrm{L}^{-1})=\mathrm{min}^{-1}, portanto t em minutos. Tudo coerente.
Dica de prova: quando C_{A0}=C_{B0} e você tem X_A/(1-X_A) aparecendo, muitas vezes para X_A=0{,}90 surge um fator simples (aqui 0{,}90/0{,}10=9), o que facilita cálculo mental.

Passo 5

Determinar o número de bateladas por dia e a massa/volume por batelada necessário para atingir a produção diária (passos e raciocínio).
  • Tempo de ciclo por batelada (tempo total entre início de carga e fim da descarga) é
t_{\text{ciclo}}=t_{\text{carga}}+t_{\text{reação}}+t_{\text{descarga}}=15+2{,}5+12=29{,}5\\ \mathrm{min}.çã
  • Número de ciclos por dia (dia = 1440\\ \mathrm{min}):
N_{\text{ciclos}}=\frac{1440}{t_{\text{ciclo}}}=\frac{1440}{29{,}5}\approx 48{,}8136\\ \text{ciclos/dia}.
  • Massa de produto necessária por ciclo (assumindo conservação de massa: massa dos produtos formados = massa dos reagentes consumidos; sem dados de massas molares, usa-se a massa total reagente convertida): produção diária desejada =6000\\ \mathrm{kg/day}, então massa por batelada é
m_{\text{por batch}}=\frac{6000\\ \mathrm{kg}}{N_{\text{ciclos}}}=\frac{6000}{48{,}8136}\approx 122{,}97\\ \mathrm{kg/batch}.
Explicando a suposição: cada batelada converte a fração X_A da massa total carregada em produto; portanto a massa de produto por batelada é \rho\cdot V\cdot X_A se \rho é a densidade da mistura carregada. Aqui estamos assumindo que a densidade indicada é a massa por volume da mistura reagente fresca e que a massa de produto formada é igual à massa reagente consumida (conservação de massa), o que é padrão em problemas de dimensionamento quando não fornecem massas molares.

Passo 6

Cálculo final do volume da carga por batelada (passo a passo).
A massa de produto por batelada também pode ser escrita como
m_{\text{por batch}}=\rho\cdot V_{\text{batch}}\cdot X_A.
Isolando V_{\text{batch}}:
V_{\text{batch}}=\frac{m_{\text{por batch}}}{\rho\cdot X_A}.
Substituindo os valores numéricos:
V_{\text{batch}}=\frac{122{,}966\\ \mathrm{kg}}{0{,}95\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{L}^{-1}\times 0{,}90}.
Calcule o denominador:
0{,}95\times 0{,}90=0{,}855\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{L}^{-1}.
Logo
V_{\text{batch}}=\frac{122{,}966}{0{,}855}\approx 143{,}86\\ \mathrm{L}.
Observação importante: na Passo 5 eu calculei massa por batch assumindo que a massa por batch é simplesmente produção diária dividida por número de ciclos; aqui eu usei essa massa para determinar o volume necessário considerando que apenas a fração X_A da massa carregada vira produto. Assim o volume de carga precisa ser maior que massa/ \rho porque só parte reage. Note que anteriormente eu escrevi outra abordagem direta m=\rho V X_A. Ao aplicar consistentemente isso, o volume resulta em \approx 144\\ \mathrm{L}.
(Se alguém fizesse o erro de dividir massa por batch por densidade sem dividir por X_A, obteria um volume menor e insuficiente, então atenção na prova: lembrar que só a fração X_A do conteúdo vira produto.)

Passo 7

Arredondamentos finais, checagem dimensional e interpretação prática.
  • Tempo reacional encontrado: 2{,}5\\ \mathrm{min}. É muito curto comparado a tempos de carga/descarga; isso é possível quando a constante k e a concentração são relativamente altas.
  • Volume de reator (volume de carga por batelada) necessário: V_{\text{batch}}\approx 144\\ \mathrm{L} (arredondado para três algarismos significativos).
  • Unidade alternativa: em metros cúbicos, V_{\text{batch}}\approx 0{,}144\\ \mathrm{m}^3.
  • Checagem rápida: massa carregada por batelada é \rho V_{\text{batch}} \approx 0{,}95\times 143{,}86\approx 136{,}67\\ \mathrm{kg}. Dessas X_A=90\% viram produto: 0{,}9\times 136{,}67\approx 123\\ \mathrm{kg}, consistente com a necessidade por batch calculada.
Força de estímulo: você já passou pela parte mais chata (a derivação). Na prova, reconheça que para C_{A0}=C_{B0} a fórmula se reduz à forma simples t=\dfrac{X_A}{kC_{A0}(1-X_A)} — isso salva tempo.

Resposta

Tempo reacional: 2{,}5\\ \mathrm{min}
Volume do reator (por batelada): V_{\text{batch}}\approx 144\\ \mathrm{L} (aprox. 0{,}144\\ \mathrm{m}^3)

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