Calcule o tempo reacional e o volume do reator para atingir 90% de conversão em uma reação química de segunda ordem num reator de batelada, considerando os dados abaixo:
a)
b)
. minuto
c)
d) Conversão (XA)
e) Tempo de carga = 15 minutos
f) Tempo descarga
minutos
g) Produção diária
de produtos por dia
h) Densidade da mistura reagente
a)
b)
c)
d) Conversão (XA)
e) Tempo de carga = 15 minutos
f) Tempo descarga
g) Produção diária
h) Densidade da mistura reagente
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado).
Dados:
- Reação:
. - Constante de velocidade:
. - Concentrações iniciais:
. - Conversão desejada:
. - Tempo de carga:
. - Tempo de descarga:
. - Produção diária requerida:
. - Densidade da mistura reagente (A+B):
.
O enunciado pede:
- Calcular o tempo reacional (tempo de residência no batelada durante o qual ocorre a reação) necessário para atingir
. - Calcular o volume do reator (volume de carga por batelada) que permite obter a produção diária de
dados os tempos de carga, reação e descarga.
Passo 2
Entendendo a modelagem e as variáveis (a “receita” que se usa em prova).
Definições e raciocínio passo a passo:
- Em reator batelada, fazemos balanço de mols de
. A concentração de no tempo é . A conversão é definida por
Logo
- A lei de velocidade para reação do tipo
de segunda ordem elementar é
onde
é a velocidade de consumo de
em
, e
tem unidades compatíveis (aqui
).
- Como
(condição equimolar), durante a reação mantêm-se iguais as concentrações instantâneas: . Assim a velocidade fica
- Relação entre
e conversão: como ,
Igualando:
- Simplificando a expressão obtemos a equação diferencial que liga
e :
Esta é a equação que vamos integrar para achar
em função de
.
Passo 3
Integração para obter a expressão analítica do tempo reacional (mostrando cada passo para a prova).
Separando variáveis:
Integramos dos limites
em
até
qualquer em
:
Calcule a integral no lado esquerdo. Fazendo
dá (ou usando primitiva conhecida):
Portanto, avaliando os limites:
O lado direito é simplesmente
. Igualando:
Rearranjando para
:
Observação útil para prova: essa expressão também pode ser escrita de forma compacta como
pois
. Guarde essa forma — é rápida para calcular conversões pedidas.
Passo 4
Aplicando a fórmula para
com os números dados (passo a passo numérico e checagem de unidades).
Usando
Substituindo
,
e
:
Calcule o denominador:
Logo
Checagem de consistência de unidade:
tem unidades
, portanto
em minutos. Tudo coerente.
Dica de prova: quando
e você tem
aparecendo, muitas vezes para
surge um fator simples (aqui
), o que facilita cálculo mental.
Passo 5
Determinar o número de bateladas por dia e a massa/volume por batelada necessário para atingir a produção diária (passos e raciocínio).
- Tempo de ciclo por batelada (tempo total entre início de carga e fim da descarga) é
- Número de ciclos por dia (dia =
):
- Massa de produto necessária por ciclo (assumindo conservação de massa: massa dos produtos formados = massa dos reagentes consumidos; sem dados de massas molares, usa-se a massa total reagente convertida): produção diária desejada
, então massa por batelada é
Explicando a suposição: cada batelada converte a fração
da massa total carregada em produto; portanto a massa de produto por batelada é
se
é a densidade da mistura carregada. Aqui estamos assumindo que a densidade indicada é a massa por volume da mistura reagente fresca e que a massa de produto formada é igual à massa reagente consumida (conservação de massa), o que é padrão em problemas de dimensionamento quando não fornecem massas molares.
Passo 6
Cálculo final do volume da carga por batelada (passo a passo).
A massa de produto por batelada também pode ser escrita como
Isolando
:
Substituindo os valores numéricos:
Calcule o denominador:
Logo
Observação importante: na Passo 5 eu calculei massa por batch assumindo que a massa por batch é simplesmente produção diária dividida por número de ciclos; aqui eu usei essa massa para determinar o volume necessário considerando que apenas a fração
da massa carregada vira produto. Assim o volume de carga precisa ser maior que massa/
porque só parte reage. Note que anteriormente eu escrevi outra abordagem direta
. Ao aplicar consistentemente isso, o volume resulta em
.
(Se alguém fizesse o erro de dividir massa por batch por densidade sem dividir por
, obteria um volume menor e insuficiente, então atenção na prova: lembrar que só a fração
do conteúdo vira produto.)
Passo 7
Arredondamentos finais, checagem dimensional e interpretação prática.
- Tempo reacional encontrado:
. É muito curto comparado a tempos de carga/descarga; isso é possível quando a constante e a concentração são relativamente altas. - Volume de reator (volume de carga por batelada) necessário:
(arredondado para três algarismos significativos). - Unidade alternativa: em metros cúbicos,
. - Checagem rápida: massa carregada por batelada é
. Dessas viram produto: , consistente com a necessidade por batch calculada.
Força de estímulo: você já passou pela parte mais chata (a derivação). Na prova, reconheça que para
a fórmula se reduz à forma simples
— isso salva tempo.
Resposta
Tempo reacional:
Volume do reator (por batelada): (aprox.
)
Volume do reator (por batelada):