Calcule o tempo reacional para atingir 95 \% de conversão em uma reação química de primeira ordem num reator de batelada e o volume do reator de batelada, considerando os dados abaixo:
a) Reação: A \longrightarrow B
b) \mathrm{K}=0,09 / minuto
c) \mathrm{CAO}=2 moles / \mathrm{L}
d) Conversão (XA) = 95%
e) Tempo de carga = 10 minutos
f) Tempo descarga =8 minutos
g) Produção diária = 15000 moles de B por dia de 16 horas
Obs.: Expresse a velocidade reacional em função da concentração de A

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo isto foi extraído do enunciado).
  • Reação: A \longrightarrow B.
  • Constante cinética: k = 0{,}09\\ \text{min}^{-1}.
  • Concentração inicial de A: C_{A0} = 2\\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}.
  • Conversão desejada: X_A = 95\% = 0{,}95.
  • Tempo de carga: t_{\text{carga}} = 10\\ \text{min}.
  • Tempo de descarga: t_{\text{descarga}} = 8\\ \text{min}.
  • Produção diária exigida: 15000 moles de B por dia, sendo o dia de produção igual a 16 horas de operação.
  • Observação pedida: expressar a velocidade reacional em função da concentração de A.
O que o enunciado pede que eu calcule:
  1. O tempo de reação (tempo de batelada) necessário para atingir X_A=0{,}95.
  2. O volume do reator de batelada que permita produzir 15000 mol de B por dia (considerando tempos de carga, descarga e o tempo de reação do item 1 e que a produção ocorre durante 16 horas por dia).
  3. Além disso, expressar a velocidade reacional em função de C_A.

Passo 2

Conceito e balanço de matéria para reator batelada com cinética de primeira ordem — vamos montar a equação diferencial e resolver passo a passo.
  • Definição de taxa para cinética de primeira ordem: a velocidade de consumo de A é proporcional à sua concentração. Em notação, isso significa que a velocidade (taxa volumétrica) é
r_A = -k\,C_A,
onde:
  • r_A é a velocidade de reação em \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}\cdot\text{min}^{-1} (o sinal negativo indica consumo de A);
  • k é a constante de velocidade com unidades \text{min}^{-1};
  • C_A é a concentração de A em \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}.
  • Balanço de matéria no reator batelada (sem fluxo durante a reação): a variação temporal da concentração é igual à taxa:
\frac{dC_A}{dt} = r_A = -k\,C_A.
Esta é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem homogênea.
  • Resolver a equação diferencial. Separei variáveis e integro:
\frac{dC_A}{C_A} = -k\,dt.
Integrando desde t=0 (quando C_A=C_{A0}) até um tempo t (quando C_A=C_A(t)):
\int_{C_{A0}}^{C_A(t)} \frac{dC_A}{C_A} = -\int_{0}^{t} k\,dt.
As integrais dão
\ln\!\left(\frac{C_A(t)}{C_{A0}}\right) = -k t.
Tomando exponencial,
C_A(t) = C_{A0}\,e^{-k t}.

Passo 3

Relacionando concentração com conversão e isolando o tempo pedido.
  • Conversão em batelada é definida como
X_A(t) = \frac{C_{A0}-C_A(t)}{C_{A0}} = 1 - \frac{C_A(t)}{C_{A0}}.
Substituindo C_A(t)=C_{A0}e^{-k t} obtemos a expressão da conversão no tempo t:
X_A(t) = 1 - e^{-k t}.
  • Isolar o tempo para uma conversão alvo X_A:
1 - X_A = e^{-k t} \quad\Rightarrow\quad t = -\frac{1}{k}\ln\!\bigl(1 - X_A\bigr).
  • Agora substituir os valores numéricos: k=0{,}09\\ \text{min}^{-1} e X_A=0{,}95. Primeiro calcule 1-X_A = 0{,}05 e \ln(0{,}05).
t = -\frac{1}{0{,}09}\ln(0{,}05).
Calculemos a parte logarítmica: \ln(0{,}05)\approx -2{,}995732. Então
t \approx -\frac{1}{0{,}09}\times(-2{,}995732)=\frac{2{,}995732}{0{,}09}.
Fazendo a divisão:
t \approx 33{,}2859\\ \text{min}.
Arredondando com razão prática, podemos usar t \approx 33{,}29\\ \text{min}.

Passo 4

Expressar explicitamente a velocidade reacional em função de C_A (pedido do enunciado) e comentar unidades e valor inicial.
  • A expressão geral (já escrita) é
r_A = -k\,C_A.
Isto significa que a velocidade de consumo de A (em \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}\cdot\text{min}^{-1}) é simplesmente a concentração atual multiplicada por -k. O sinal negativo indica consumo de A.
  • Valor numérico da velocidade inicial (útil para intuição): para C_{A0}=2\\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1},
r_{A}(t=0) = -k\,C_{A0} = -0{,}09\times 2 = -0{,}18\\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}\cdot\text{min}^{-1}.

Passo 5

Montar o ciclo de batelada e calcular o tempo de ciclo total disponível por dia.
  • Tempo de reação encontrado no Passo 3: t_{\text{reação}}\approx 33{,}2859\\ \text{min}çã.
  • Tempo total por batelada (carga + reação + descarga):
t_{\text{ciclo}} = t_{\text{carga}} + t_{\text{reação}} + t_{\text{descarga}} = 10 + 33{,}2859 + 8 = 51{,}2859\\ \text{min}.çã
Arredondando, t_{\text{ciclo}}\approx 51{,}29\\ \text{min}.
  • Tempo diário de operação: 16 horas =16\times 60 = 960\\ \text{min}.
  • Número de bateladas possíveis por dia:
N = \frac{960}{t_{\text{ciclo}}}.

Passo 6

Relacionar produção por batelada com volume e calcular o volume do reator.
  • Moles de B produzidos por batelada: como a estequiometria é A\to B, moles de B formados por batelada são iguais aos moles de A consumidos:
n_{B,\text{por batelada}} = C_{A0}\,V\,X_A,
onde V é o volume do reator em litros (L).
  • Produção diária (em moles) com N bateladas por dia:
\text{Produção diária} = n_{B,\text{por batelada}}\times N = C_{A0}\,V\,X_A\cdot\frac{960}{t_{\text{ciclo}}}.çãá
  • Impor a produção requerida 15000 mol/dia e isolar V:
15000 = C_{A0}\,V\,X_A\cdot\frac{960}{t_{\text{ciclo}}} \quad\Rightarrow\quad V = \frac{15000\,t_{\text{ciclo}}}{C_{A0}\,X_A\,960}.
  • Substituir valores numéricos:
    • t_{\text{ciclo}} \approx 51{,}285913\\ \text{min} (usei valor não arredondado do Passo 5 para maior precisão);
    • C_{A0}=2\\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1};
    • X_A=0{,}95;
    • 960\\ \text{min} é o tempo de produção por dia.
Calcule o denominador:
C_{A0}\,X_A\,960 = 2\times 0{,}95\times 960 = 1824.
Calcule o numerador:
15000\times t_{\text{ciclo}} \approx 15000\times 51{,}285913 \approx 769288{,}6956.
Dividindo,
V \approx \frac{769288{,}6956}{1824} \approx 421{,}76\\ \text{L}.
Arredondando para um valor prático: V \approx 422\\ \text{L}.

Passo 7

Resumo prático e checagens rápidas (sem repetir cálculos): o tempo de reação é da ordem de algumas dezenas de minutos (aprox. 33,3 min) e o volume resultante é da ordem de poucos centenas de litros (aprox. 422 L). A velocidade reacional em função de C_A é linear para cinética de primeira ordem: r_A=-kC_A. Força final: você já tem a fórmula para qualquer outro X_A — basta usar t=-(1/k)\ln(1-X_A).

Resposta

Tempo de reação para X_A=95\%: t \approx 33{,}29\\ \text{min}
Volume do reator de batelada necessário: V \approx 421{,}76\\ \text{L} (aprox. 422\\ \text{L})
Velocidade reacional em função de C_A: r_A = -k\,C_A (unidade \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}\cdot\text{min}^{-1}; neste caso r_A = -0{,}09\,C_A).

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