João de 78 kg e Maria de 56 kg estão praticando patinação sobre uma pista de gelo. Enquanto está parado amarrando o cordão de seu patim, João é atingido por Maria, que deslocava a 12,0 m / s. Depois da colisão, a velocidade da Maria passou a ser de 8,0 m / s e formando um ângulo de 32^circ com a sua direção de sua velocidade inicial. Considerando a pista de gelo sem atrito, a) determine a velocidade do João depois da colisão. b) Quanta energia cinética foi dissipada em virtude dessa colisão?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem o João, que pesa 78 kg, parado no gelo, e a Maria, de 56 kg, deslizando na velocidade de 12 m/s. De repente, a Maria bate no João, fazendo com que a velocidade dela diminua para 8 m/s e mude de direção formando um ângulo de 32 graus com a direção original. A pista está sem atrito, ou seja, não tem resistência. Nosso objetivo aqui é descobrir duas coisas:
a) Qual a velocidade do João depois da colisão.
b) Quanto de energia cinética foi perdida nessa colisão.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte a). Como não tem atrito, a quantidade de movimento (ou momento linear) é conservada. Isso significa que o momento antes da colisão é igual ao momento depois da colisão. Vamos considerar a direção original da Maria como eixo x.
A quantidade de movimento é dada por:
p = m times v
Antes da colisão, só a Maria está em movimento, então o momento total inicial é:
pinicial = mMaria times vMaria
Depois da colisão, tanto a Maria quanto o João estão se movendo. A Maria tem uma velocidade de 8 m/s em uma direção a 32° do original, então precisamos separar essa velocidade em componentes x e y.
A equação da conservação do momento no eixo x será:
mMaria times vMaria = mMaria times v'Maria cos(theta) + mJoão times vJoão cos(phi) ãã
E no eixo y:
0 = mMaria times v'Maria sin(theta) + mJoão times vJoão sin(phi) ãã
Como o João estava parado, sua velocidade antes da colisão era zero.
Assumindo que a colisão faz com que o João se mova na direção perpendicular à nova direção da Maria, podemos simplificar as equações para encontrar a velocidade do João.

Passo 3

Agora, vamos calcular os valores. Primeiro, calculamos o momento inicial da Maria:
pinicial = 56 , kg times 12 , m/s = 672 , kg cdot m/s
Depois da colisão, o momento da Maria na direção x:
pMariax = 56 , kg times 8 , m/s times cos(32°) approx 56 times 8 times 0.8480 approx 380.16 , kg cdot m/s
Aplicando a conservação do momento no eixo x:
672 = 380.16 + 78 times vJoão times cos(90°) ã
Como $ \cos(90°) = 0 $, a contribuição do João no eixo x é zero. Isso significa que todo o momento no eixo x após a colisão está na Maria.
Para o eixo y, a única contribuição vem do João:
cos(90°) = 0 ã
0 = 56 times 8 times sin(32°) + 78 times vJoão ã
0 = 56 times 8 times 0.5299 + 78 times vJoão ã
0 = 239.23 + 78 times vJoão ã
O sinal negativo indica que a direção do movimento do João é oposta à direção y positiva definida.

Resposta

a) A velocidade do João depois da colisão é aproximadamente 3,07 m/s na direção oposta à componente y da velocidade da Maria.
b) Para calcular a energia cinética dissipada, primeiro calculamos a energia cinética inicial e final.
Energia cinética inicial da Maria:
KEinicial = 12 mMaria vMaria^2 = 12 times 56 times 12^2 = 4032 , J
Energia cinética final da Maria:
KEMariafinal = 12 times 56 times 8^2 = 1792 , J
Energia cinética do João após a colisão:
KEJoão = 12 times 78 times 3.07^2 approx 366 , J ã
Energia cinética total final:
KEtotalfinal = 1792 + 366 = 2158 , J
Energia cinética dissipada:
De
Então, foram dissipados aproximadamente 1874 Joules de energia na colisão.

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