João decidiu guardar R$50 no primeiro mês e , a cada mês seguinte, aumentar
10$ no valor guardado.
a) Qual será o valor guardado no
mês?
b) Quanto João terá economizado ao final de 6 meses?
a) Qual será o valor guardado no
b) Quanto João terá economizado ao final de 6 meses?
Passo 1
O enunciado diz que João guardou
no primeiro mês e que, a cada mês seguinte, ele aumenta em
o valor guardado. As perguntas são:
a) Qual será o valor guardado no mês?
b) Quanto João terá economizado ao final de 6 meses?
a) Qual será o valor guardado no
b) Quanto João terá economizado ao final de 6 meses?
Dados importantes extraídos do enunciado:
(valor do 1.º mês)
(diferença mensal, aumento constante)
(número de meses para a pergunta)
Passo 2
Modelagem: como o valor guardado cresce sempre adicionando a mesma quantia (
) a cada mês, os valores mês a mês formam uma progressão aritmética (PA). Vamos definir
como o valor guardado no
-ésimo mês. A fórmula geral de um termo de uma PA é
Explicação da fórmula (aula rápida):
-
é o valor que queremos no mês . -
é o primeiro termo (o que ele guardou no 1.º mês). -
é a diferença comum entre termos (quanto ele aumenta a cada mês). -
representa quantos aumentos de foram aplicados desde o 1.º mês até o -ésimo.
Passo 3
Cálculo do valor no
mês usando a fórmula da PA:
Aplicando ,
e
,
Aplicando
Agora calculamos passo a passo:
. Então
Interpretação simples: no 6.º mês ele guarda
.
Passo 4
Cálculo do total acumulado nos 6 meses: para somar os primeiros
termos de uma PA usamos a fórmula
Explicação e derivação curta (truque do Gauss): se você soma o primeiro com o último, o segundo com o penúltimo etc., cada par dá a mesma soma
. Existem
termos, ou seja
pares (se
for par) — assim o total é número de pares vezes soma de cada par, daí a fórmula. Nesta fórmula:
-
é a soma dos primeiros termos (o total economizado). -
e são, respectivamente, o primeiro e o n-ésimo termos. -
é a quantidade de termos somados.
Passo 5
Aplicando a fórmula da soma com
,
e
:
Primeiro somamos dentro dos parênteses:
. Então
Dividindo
por
dá
, logo
Confirmação alternativa rápida: média dos termos
vezes
meses dá
, mesma resposta.
Resposta
a)
b)
b)