João decidiu guardar R$50 no primeiro mês e , a cada mês seguinte, aumentar \mathrm{R} \10$ no valor guardado.
a) Qual será o valor guardado no 6^{\circ} mês?
b) Quanto João terá economizado ao final de 6 meses?

Passo 1

O enunciado diz que João guardou \text{R\$}50 no primeiro mês e que, a cada mês seguinte, ele aumenta em \text{R\$ }10 o valor guardado. As perguntas são:
a) Qual será o valor guardado no 6^{\circ} mês?
b) Quanto João terá economizado ao final de 6 meses?
Dados importantes extraídos do enunciado:
\;a_1 = \text{R\$ }50 (valor do 1.º mês)
\;d = \text{R\$ }10 (diferença mensal, aumento constante)
\;n = 6 (número de meses para a pergunta)

Passo 2

Modelagem: como o valor guardado cresce sempre adicionando a mesma quantia ( \text{R\$ }10) a cada mês, os valores mês a mês formam uma progressão aritmética (PA). Vamos definir a_n como o valor guardado no n-ésimo mês. A fórmula geral de um termo de uma PA é
a_n = a_1 + (n-1)\,d
Explicação da fórmula (aula rápida):
  • \;a_n é o valor que queremos no mês n.
  • \;a_1 é o primeiro termo (o que ele guardou no 1.º mês).
  • \;d é a diferença comum entre termos (quanto ele aumenta a cada mês).
  • \;(n-1) representa quantos aumentos de \;d foram aplicados desde o 1.º mês até o n-ésimo.

Passo 3

Cálculo do valor no 6^{\circ} mês usando a fórmula da PA:
Aplicando \;a_1=\text{R\$}50, \;d=\text{R\$ }10 e \;n=6,
a_6 = a_1 + (6-1)\,d
a_6 = \text{R\$}50 + 5\cdot\text{R\$ }10
Agora calculamos passo a passo: 5\cdot\text{R\$}10 = \text{R\$ }50. Então
a_6 = \text{R\$}50 + \text{R\$ }50 = \text{R\$ }100.
Interpretação simples: no 6.º mês ele guarda \text{R\$ }100.

Passo 4

Cálculo do total acumulado nos 6 meses: para somar os primeiros n termos de uma PA usamos a fórmula
S_n=\frac{n\,(a_1+a_n)}{2}
Explicação e derivação curta (truque do Gauss): se você soma o primeiro com o último, o segundo com o penúltimo etc., cada par dá a mesma soma a_1+a_n. Existem n termos, ou seja n/2 pares (se n for par) — assim o total é número de pares vezes soma de cada par, daí a fórmula. Nesta fórmula:
  • \;S_n é a soma dos n primeiros termos (o total economizado).
  • \;a_1 e \;a_n são, respectivamente, o primeiro e o n-ésimo termos.
  • \;n é a quantidade de termos somados.

Passo 5

Aplicando a fórmula da soma com n=6, a_1=\text{R\$}50 e a_6=\text{R\$ }100:
S_6=\frac{6\,( \text{R\$}50 + \text{R\$ }100)}{2}
Primeiro somamos dentro dos parênteses: \text{R\$}50 + \text{R\$ }100 = \text{R\$ }150. Então
S_6=\frac{6\cdot \text{R\$ }150}{2}
Dividindo 6 por 2 3, logo
S_6=3\cdot \text{R\$}150 = \text{R\$ }450.
Confirmação alternativa rápida: média dos termos (50+100)/2 = 75 vezes 6 meses dá 6\cdot 75 = 450, mesma resposta.

Resposta

a) \text{R\$ }100
b) \text{R\$ }450

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