- (João) Dizemos que um subespaço
é invariante por um operador
se
. Sejam
e
dois subsepaços de
invariantes por
. Mostre que
e
são, também, invariantes por
.
Passo 1
O enunciado está em Álgebra Linear: temos um espaço vetorial
e um operador linear
. Dizemos que um subespaço
é invariante por
se
Estamos dados dois subespaços invariantes
e
, e precisamos mostrar que tanto
são invariantes por
.
Passo 2
Para
, tomemos um vetor arbitrário
. Como
e
é invariante, segue que
De igual modo,
e
invariante implica
Portanto
ou seja,
, e logo
é invariante.
Passo 3
Para
, tomemos
. Por definição de soma de subespaços existe decomposição
com
e
. Como
é linear,
Pela invariância,
e
. Assim
isto é,
, mostrando que
é invariante.
Resposta
Mostramos que
logo tanto
quanto
são invariantes por
.