1. (João) Dizemos que um subespaço W \subset V é invariante por um operador T: V \rightarrow V se T(W) \subset W. Sejam W_{1} e W_{2} dois subsepaços de V invariantes por T. Mostre que W_{1} \cap W_{2} e W_{1}+W_{2} são, também, invariantes por T.

Passo 1

O enunciado está em Álgebra Linear: temos um espaço vetorial V e um operador linear T\colon V\to V. Dizemos que um subespaço W\subset V é invariante por T se
T(W)\subset W.
Estamos dados dois subespaços invariantes W_{1} e W_{2}, e precisamos mostrar que tanto
W_{1}\cap W_{2} \quad\text{quanto}\quad W_{1}+W_{2}
são invariantes por T.

Passo 2

Para W_{1}\cap W_{2}, tomemos um vetor arbitrário v\in W_{1}\cap W_{2}. Como v\in W_{1} e W_{1} é invariante, segue que
T(v)\in W_{1}.
De igual modo, v\in W_{2} e W_{2} invariante implica
T(v)\in W_{2}.
Portanto
T(v)\in W_{1}\cap W_{2},
ou seja, T(W_{1}\cap W_{2})\subset W_{1}\cap W_{2}, e logo W_{1}\cap W_{2} é invariante.

Passo 3

Para W_{1}+W_{2}, tomemos x\in W_{1}+W_{2}. Por definição de soma de subespaços existe decomposição
x = w_{1} + w_{2},
com w_{1}\in W_{1} e w_{2}\in W_{2}. Como T é linear,
T(x) = T(w_{1}+w_{2}) = T(w_{1}) + T(w_{2}).
Pela invariância, T(w_{1})\in W_{1} e T(w_{2})\in W_{2}. Assim
T(x)\in W_{1}+W_{2},
isto é, T(W_{1}+W_{2})\subset W_{1}+W_{2}, mostrando que W_{1}+W_{2} é invariante.

Resposta

Mostramos que
T(W_{1}\cap W_{2})\subset W_{1}\cap W_{2} \quad\text{e}\quad T(W_{1}+W_{2})\subset W_{1}+W_{2},
logo tanto W_{1}\cap W_{2} quanto W_{1}+W_{2} são invariantes por T.

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