1. (Vinícius) Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} operador que possui como autovalores \lambda_{0}=-1, \lambda_{1}=1 e \lambda_{2}=2. Encontre os valores de a, b, c \in \mathbb{R} para os quais
    os autovetores v_{0}=(-c, c,-a), v_{1}=(b, a, c) e v_{2}=(a / 2,-b, 0) associados aos autovalores \lambda_{0}, \lambda_{1} e \lambda_{2}, respectivamente, satisfaçam,
T\left(v_{0}\right)+T\left(v_{1}\right)+T\left(v_{2}\right)=(1,1,-1)

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 com autovalores \lambda_0=-1, \lambda_1=1 e \lambda_2=2 e vetores próprios
\displaystyle v_{0}=(-c,c,-a), v_{1}=(b,a,c), v_{2}=(\tfrac{a}{2},-b,0).
Como T(v_i)=\lambda_i v_i, vamos usar essa propriedade para expressar T(v_0), T(v_1) e T(v_2) e impor
T(v_0)+T(v_1)+T(v_2)=(1,1,-1).

Passo 2

Aplicando a relação de autovalor a cada vetor próprio:
T(v_0)=-1\cdot(-c,c,-a)=(c,-c,a),
T(v_1)=1\cdot(b,a,c)=(b,a,c),
T(v_2)=2\cdot\Bigl(\tfrac{a}{2},-b,0\Bigr)=(a,-2b,0).

Passo 3

Somando os três resultados em cada componente e igualando a (1,1,-1), obtemos o sistema
c + b + a = 1
-c + a - 2b = 1
a + c = -1

Passo 4

Da terceira equação segue
c = -1 - a.
Substituindo na primeira,
(-1 - a) + b + a = 1 \quad\Longrightarrow\quad b - 1 = 1 \quad\Longrightarrow\quad b = 2.
Agora na segunda,
-(-1 - a) + a - 2\cdot 2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad 1 + a + a - 4 = 1 \quad\Longrightarrow\quad 2a - 3 = 1 \quad\Longrightarrow\quad a = 2.
Por fim,
c = -1 - a = -1 - 2 = -3.

Resposta

a = 2, b = 2, c = -3.

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