1. (Marco)
    Encontre os valores de \alpha \in \mathbb{R} para os quais o operador T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}
T(x, y)=(x+2 y, 2 x+\alpha y)
não possui nenhum autovalor real.

Passo 1

O enunciado pede os valores de \alpha\in\mathbb{R} tais que o operador
T(x,y) = (x + 2y,\;2x + \alpha y)
não tenha nenhum autovalor real. Isso significa que o discriminante do polinômio característico deve ser negativo.

Passo 2

Vamos escrever a matriz de T em relação à base canônica:
A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\\\ 2 & \alpha \end{pmatrix}.
O polinômio característico é
p(\lambda) = \det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix} 1-\lambda & 2\\\\ 2 & \alpha - \lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)(\alpha-\lambda) - 4.

Passo 3

Expandindo p(\lambda) obtemos
p(\lambda) = \lambda^2 - (1+\alpha)\,\lambda + (\alpha - 4).
O discriminante é
\Delta = (1+\alpha)^2 - 4(\alpha - 4).

Passo 4

Calculando e simplificando:
\Delta = (1+\alpha)^2 -4\alpha +16 = \alpha^2 +2\alpha +1 -4\alpha +16 = \alpha^2 -2\alpha +17.
Note que
\alpha^2 -2\alpha +17 = (\alpha-1)^2 +16 > 0
para todo \alpha\in\mathbb{R}. Logo \Delta nunca fica negativa, o que significa que o operador T sempre tem autovalores reais.

Resposta

Não existe \alpha\in\mathbb{R} que faça com que T não tenha autovalor real. Em outras palavras, o conjunto é vazio.

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