João, Ivo e Elton ganharam de seus pais 46 moedas de mesmo valor. Eles repartiram essas moedas de maneira diretamente proporcional às suas idades, que são: 4,7 e 12 anos, respectivamente. Quantas moedas cada um recebeu?

Passo 1

O enunciado dá que João, Ivo e Elton receberam, no total, \,46\, moedas de mesmo valor. As idades são, respectivamente, \,4\,,\,7 e \,12 anos.
A pergunta é: quantas moedas cada um recebeu?

Passo 2

Entender o que significa “repartiram de maneira diretamente proporcional às suas idades”. Vou traduzir isso em variáveis e uma regra simples, devagarinho e sem pressa.
  • Seja x_J o número de moedas do João, x_I o número de moedas do Ivo e x_E o número de moedas do Elton.
  • “Diretamente proporcional às idades” significa que existe uma constante k tal que
x_J = k\cdot 4,\qquad x_I = k\cdot 7,\qquad x_E = k\cdot 12.
Explicando: cada ano de idade “vale” k moedas; assim quem tem a anos recebe k\cdot a moedas.

Passo 3

Usamos a informação do total de moedas para achar k. Somando os três x deve dar \,46:
x_J+x_I+x_E = k\cdot 4 + k\cdot 7 + k\cdot 12 = k(4+7+12) = 46.
Agora calculamos a soma das idades dentro dos parênteses:
4+7+12 = 23.
Portanto a equação fica k\cdot 23 = 46.

Passo 4

Isolamos k:
k = \frac{46}{23}.
Fazendo a divisão,
\frac{46}{23}=2.
Interpretação simples: cada ano de idade corresponde a 2 moedas.

Passo 5

Agora calculamos as moedas de cada um aplicando x = k\cdot\text{idade}.
Para João:
x_J = k\cdot 4 = 2\cdot 4 = 8.

Passo 6

Para Ivo:
x_I = k\cdot 7 = 2\cdot 7 = 14.

Passo 7

Para Elton:
x_E = k\cdot 12 = 2\cdot 12 = 24.

Passo 8

Conferência rápida (sempre faça isso na prova): somar os resultados para ver se dá o total:
8+14+24 = 22+24 = 46,
que é exatamente o total de moedas. Tudo consistente — ótimo!

Resposta

João: \,8\, moedas
Ivo: \,14\, moedas
Elton: \,24\, moedas

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