A quantia de \mathrm{R} \ 3000,00$ precisa ser dividida entre Amanda, Taís e Heloísa, de maneira inversamente proporcional às suas idades, 20,15 e 12 anos, respectivamente. Determine a quantia, em reais, que cada um receberá.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede que se determine quanto cada pessoa receberá:
  • Quantia total a ser dividida: R\$\,3000{,}00.
  • Idades: Amanda =\,20 anos, Taís =\,15 anos, Heloísa =\,12 anos.
  • A divisão deve ser feita de maneira inversamente proporcional às idades.
    A pergunta é: qual a quantia, em reais, que cada uma (Amanda, Taís e Heloísa) receberá?

Passo 2

Entendendo “inversamente proporcional às idades” (explicação didática).
  • Dizemos que uma quantidade S (a quantia recebida) é inversamente proporcional à idade a se valem fórmulas do tipo
S = k\cdot\frac{1}{a},
onde k é uma constante comum a todos os participantes (essa constante garante que as partes somem o total disponível).
  • Aqui teremos três quantias S_A (Amanda), S_T (Taís) e S_H (Heloísa) com
S_A = k\cdot\frac{1}{20},\qquad S_T = k\cdot\frac{1}{15},\qquad S_H = k\cdot\frac{1}{12}.
  • A ideia prática para a prova: calcular as “pesos” como os inversos das idades, somá-los, e dividir o total na razão desses pesos.

Passo 3

Calcular os pesos (recíprocos das idades) e a soma deles.
  • Pesos:
\frac{1}{20},\qquad \frac{1}{15},\qquad \frac{1}{12}.
  • Para somar, use um denominador comum. Um denominador conveniente é 120:
\frac{1}{20}=\frac{6}{120},\qquad \frac{1}{15}=\frac{8}{120},\qquad \frac{1}{12}=\frac{10}{120}.
  • Soma dos pesos:
\frac{6}{120}+\frac{8}{120}+\frac{10}{120}=\frac{24}{120}=\frac{1}{5}.

Passo 4

Determinar a constante k usando que as partes somadas dão o total R\$\,3000{,}00.
  • Temos
S_A+S_T+S_H = k\!\left(\frac{1}{20}+\frac{1}{15}+\frac{1}{12}\right)=k\cdot\frac{1}{5}.
  • Como a soma deve ser R\$\,3000{,}00, segue
k\cdot\frac{1}{5}=R\$\,3000{,}00 \quad\Rightarrow\quad k = R\$\,3000{,}00\cdot 5 = R\$\,15000{,}00.

Passo 5

Calcular cada quantia aplicando k nos recíprocos das idades.
  • Amanda:
S_A = k\cdot\frac{1}{20}=R\$\,15000{,}00\cdot\frac{1}{20}=R\$\,\frac{15000}{20}=R\$\,750{,}00.
  • Taís:
S_T = k\cdot\frac{1}{15}=R\$\,15000{,}00\cdot\frac{1}{15}=R\$\,\frac{15000}{15}=R\$\,1000{,}00.
  • Heloísa:
S_H = k\cdot\frac{1}{12}=R\$\,15000{,}00\cdot\frac{1}{12}=R\$\,\frac{15000}{12}=R\$\,1250{,}00.

Passo 6

Verificação rápida (para ficar seguro na prova):
R\$\,750{,}00 + R\$\,1000{,}00 + R\$\,1250{,}00 = R\$\,3000{,}00,
logo a divisão está consistente com o total.

Resposta

Amanda: R\$\,750{,}00
Taís: R\$\,1000{,}00
Heloísa: R\$\,1250{,}00

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