O prêmio de um concurso no valor de \mathrm{R} \ 288000,00$ será dividido de maneira diretamente proporcional aos pontos obtidos pelos candidatos das três primeiras colocações. Supondo que o primeiro colocado tenha feito 180 pontos, o segundo, 110 pontos, e o terceiro, 70 pontos, determine o valor em reais do prêmio de cada um dos candidatos.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo abaixo em valores pegos do enunciado):
  • Prêmio total: R\$\,288000{,}00.
  • Pontos do 1.º colocado: 180.
  • Pontos do 2.º colocado: 110.
  • Pontos do 3.º colocado: 70.
O que o enunciado pede:
  • Determinar o valor em reais que cada um dos três candidatos receberá, sabendo que a divisão é feita diretamente proporcional aos pontos obtidos.

Passo 2

Entendendo o que significa “dividir diretamente proporcional aos pontos” (aula rápida e prática).
  • Se as quantias A_1,A_2,A_3 são diretamente proporcionais aos pontos p_1,p_2,p_3, existe uma constante de proporcionalidade k tal que
A_i = k\,p_i\quad\text{para }i=1,2,3.
  • Como a soma das quantias deve ser o prêmio total T, temos
A_1+A_2+A_3 = k(p_1+p_2+p_3)=T.
  • Assim, a constante k (valor em reais por ponto) é
k=\dfrac{T}{p_1+p_2+p_3}.
  • Depois de calcular k, cada prêmio é A_i=k\,p_i.
Explicação simples: pense que cada ponto “vale” a mesma quantia k. Somando o valor de todos os pontos obtemos o prêmio total; então dividimos o prêmio pelo total de pontos para achar quanto cada ponto vale.

Passo 3

Calcular o total de pontos:
p_1+p_2+p_3 = 180 + 110 + 70 = 360.
Calcular a constante k:
k=\dfrac{T}{p_1+p_2+p_3}=\dfrac{R\$\,288000{,}00}{360}.
Fazer a divisão sem calculadora: 288000 \div 360. Note que 360=36\cdot10 e 288000=28800\cdot10, então 288000\div360=28800\div36. Calculando 28800\div36=800. Portanto
k=R\$\,800{,}00.
Interpretação: cada ponto vale R\$\,800{,}00.

Passo 4

Calcular o prêmio do 1.º colocado (usando A_1=k\,p_1):
A_1 = R\$\,800{,}00 \times 180.
Multiplicação passo a passo: 800\times180 = 8\times180\times100 = 1440\times100 = 144000.
Logo
A_1 = R\$\,144000{,}00.

Passo 5

Calcular o prêmio do 2.º colocado:
A_2 = R\$\,800{,}00 \times 110.
Calcular: 800\times110 = 8\times110\times100 = 880\times100 = 88000.
Logo
A_2 = R\$\,88000{,}00.

Passo 6

Calcular o prêmio do 3.º colocado:
A_3 = R\$\,800{,}00 \times 70.
Calcular: 800\times70 = 8\times70\times100 = 560\times100 = 56000.
Logo
A_3 = R\$\,56000{,}00.

Passo 7

Verificação rápida (somando as partes deve dar o total):
R\$\,144000{,}00 + R\$\,88000{,}00 + R\$\,56000{,}00 = R\$\,288000{,}00,
que é exatamente o prêmio total. Tudo confere.

Resposta

R\$\,144.000{,}00
R\$\,88.000{,}00
R\$\,56.000{,}00

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