Uma nave espacial persegue um asteróide e ambos seguem uma linha reta, na mesma direção. A nave, com uma massa
, tem velocidade
. O asteróide com massa
tem velocidade
e está a uma distância
à frente da nave, no instante
.
a) Qual a velocidade do centro de massa do sistema?
b) A que distância da nave está o centro de massa no instante
. ( 313 m )
c) No instante
, um projétil é lançado da nave, em direção ao asteróide. O projétil tem massa
e uma velocidade relativa à nave
. Qual é a velocidade da nave,
, após o lançamento do projétil?
d) O projétil se choca com asteróide e fica incrustado nele. Qual é a velocidade do conjunto asteróide + projétil?
a) Qual a velocidade do centro de massa do sistema?
b) A que distância da nave está o centro de massa no instante
c) No instante
d) O projétil se choca com asteróide e fica incrustado nele. Qual é a velocidade do conjunto asteróide + projétil?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que vem do enunciado).
Dados (peguei estes números do enunciado):
- Massa da nave:
. - Velocidade da nave no instante
: . - Massa do asteróide:
. - Velocidade do asteróide no instante
: . - Distância entre nave e asteróide à frente da nave no instante
: . - Massa do projétil:
. - Velocidade do projétil relativa à nave (no lançamento):
.
Perguntas:
(a) Qual a velocidade do centro de massa do sistema (nave + asteróide) no instante ?
(b) A que distância da nave está o centro de massa no instante ?
(c) No instante a nave lança o projétil. Qual é a velocidade da nave
logo após o lançamento?
(d) O projétil se choca e fica incrustado no asteróide. Qual é a velocidade do conjunto (asteróide + projétil) após a colisão?
(a) Qual a velocidade do centro de massa do sistema (nave + asteróide) no instante
(b) A que distância da nave está o centro de massa no instante
(c) No instante
(d) O projétil se choca e fica incrustado no asteróide. Qual é a velocidade do conjunto (asteróide + projétil) após a colisão?
Observação sobre uma suposição necessária (importante): vou assumir que os valores numéricos fornecidos significam que, antes do disparo, o projétil também faz parte do sistema em movimento (ou seja, antes do disparo o conjunto nave+projétil move-se com
). A massa da nave escrita
será tomada como a massa da nave sem o projétil, de modo que a massa total inicialmente envolvida na manobra de lançamento é
. Também assumirei que o projétil é lançado para frente (na mesma direção e sentido do movimento), então as velocidades são somas algébricas no mesmo sentido positivo.
Passo 2
Cálculo da velocidade do centro de massa: apresento a fórmula, explico e calculo passo a passo.
Definição e fórmula:
Aqui
são as massas dos corpos e
são as suas velocidades (todas medidas no mesmo referencial; escolhemos o referencial terrestre). A fórmula diz: o centro de massa de um sistema se move como se toda a massa estivesse concentrada num ponto, cuja velocidade é a média ponderada das velocidades, ponderada pelas massas.
Aplicando aos dois corpos (nave e asteróide):
Agora substituo os números:
Somando:
Massa total:
Logo
Arredondando com os algarismos dados:
Passo 3
Distância do centro de massa à nave no instante
: explico a fórmula de posição do centro de massa e calculo.
Escolho um eixo linear na direção do movimento. Convenção simples: defino a posição da nave no instante
como
. O asteróide está à frente, então tem posição
.
A posição do centro de massa é
Substituindo
e
:
Portanto, a distância do centro de massa até a nave (que está em
) é
Passo 4
Discussão física do lançamento do projétil e cálculo da velocidade da nave após o disparo
.
Conceito usado: conservação do impulso linear (quantidade de movimento) para o sistema nave+projétil no processo de ejeção. Explicação didática: durante o lançamento o único tipo de força entre nave e projétil são forças internas (força do disparo). Se desprezarmos impulsos externos instantâneos (por exemplo força de atrito com o espaço é desprezível) o momento linear total do sistema nave+projétil é conservado naquele processo de curtíssima duração. A equação é:
Importante definir claramente quais massas compõem cada lado:
- Antes do disparo: o conjunto nave+projétil tem massa
e está se movendo com velocidade . - Depois do disparo: a nave (com massa
conforme nossa convenção) passa a mover-se com velocidade ; o projétil (massa ) passa a ter velocidade medida no referencial terrestre.
O enunciado dá a velocidade relativa do projétil à nave no lançamento:
. Como estamos assumindo que o projétil é lançado para frente (mesmo sentido do movimento), a velocidade do projétil em relação ao solo é, pela regra da soma de velocidades:
Aqui estou usando a velocidade da nave imediatamente antes do disparo
como referência para a soma (isto é uma escolha natural simplificadora: o projétil adquire a velocidade relativa
com respeito à nave no instante do disparo; assim sua velocidade absoluta é
). Substituindo números:
Agora aplico conservação do momento para o processo de ejeção (toda a álgebra explicada):
Isolando
:
Substituo os valores numéricos:
Logo
Interpretando: a nave reduz sua velocidade de
para
por causa do recuo associado ao lançamento do projétil (é um bom exercício mental: lançar massa para frente dá recuo para trás à nave).
Passo 5
Velocidade do projétil em relação ao solo e preparação para a colisão.
Já calculei a velocidade do projétil em relação ao solo imediatamente após o disparo usando a soma simples (porque a velocidade relativa
foi dada com respeito à nave no instante do disparo):
Nota rápida de interpretação: aqui tomei
como velocidade do projétil relativa à nave antes do recuo ter sido efetivado (modelo comum em problemas de mecânica elementar). Isso permitiu obter
como no passo anterior.
Passo 6
Colisão perfeitamente inelástica entre o projétil e o asteróide (o projétil fica incrustado). Aplicação da conservação do momento linear para a colisão e cálculo da velocidade final do conjunto.
Conceito: numa colisão inelástica onde dois corpos se unem, o momento linear total dos dois antes da colisão é igual ao momento linear total depois (quando não há forças externas significativas durante o impacto). A energia cinética não é conservada, mas o momento linear sim.
Equação:
onde
é a velocidade do conjunto (asteróide + projétil) imediatamente após a colisão.
Substituindo números (usei
e
):
Somando:
Massa total após a colisão:
Portanto
Interpretação final: após o impacto inelástico, o asteróide com o projétil embutido move-se com
para a frente.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)