Uma nave espacial persegue um asteróide e ambos seguem uma linha reta, na mesma direção. A nave, com uma massa m_{N}=1100 \mathrm{~kg}, tem velocidade v_{N}=30,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O asteróide com massa m_{A}=500 \mathrm{~kg} tem velocidade v_{A}=20,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e está a uma distância D=1000 \mathrm{~m} à frente da nave, no instante t_{0}.
a) Qual a velocidade do centro de massa do sistema? (26,9 \mathrm{~m} / \mathrm{s})
b) A que distância da nave está o centro de massa no instante t_{0}. ( 313 m )
c) No instante t_{0}, um projétil é lançado da nave, em direção ao asteróide. O projétil tem massa m_{P}=100 \mathrm{~kg} e uma velocidade relativa à nave v_{R}=110,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Qual é a velocidade da nave, v^{\prime}{ }_{N}, após o lançamento do projétil? (20,0 \mathrm{~m} / \mathrm{~s})
d) O projétil se choca com asteróide e fica incrustado nele. Qual é a velocidade do conjunto asteróide + projétil? (38,3 \mathrm{~m} / \mathrm{s})

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que vem do enunciado).
Dados (peguei estes números do enunciado):
  • Massa da nave: m_{N}=1100\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade da nave no instante t_{0}: v_{N}=30{,}0\\ \mathrm{m/s}.
  • Massa do asteróide: m_{A}=500\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade do asteróide no instante t_{0}: v_{A}=20{,}0\\ \mathrm{m/s}.
  • Distância entre nave e asteróide à frente da nave no instante t_{0}: D=1000\\ \mathrm{m}.
  • Massa do projétil: m_{P}=100\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade do projétil relativa à nave (no lançamento): v_{R}=110{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Perguntas:
(a) Qual a velocidade do centro de massa do sistema (nave + asteróide) no instante t_{0}?
(b) A que distância da nave está o centro de massa no instante t_{0}?
(c) No instante t_{0} a nave lança o projétil. Qual é a velocidade da nave v'_{N} logo após o lançamento?
(d) O projétil se choca e fica incrustado no asteróide. Qual é a velocidade do conjunto (asteróide + projétil) após a colisão?
Observação sobre uma suposição necessária (importante): vou assumir que os valores numéricos fornecidos significam que, antes do disparo, o projétil também faz parte do sistema em movimento (ou seja, antes do disparo o conjunto nave+projétil move-se com v_{N}). A massa da nave escrita m_{N}=1100\\ \mathrm{kg} será tomada como a massa da nave sem o projétil, de modo que a massa total inicialmente envolvida na manobra de lançamento é m_{N}+m_{P}. Também assumirei que o projétil é lançado para frente (na mesma direção e sentido do movimento), então as velocidades são somas algébricas no mesmo sentido positivo.

Passo 2

Cálculo da velocidade do centro de massa: apresento a fórmula, explico e calculo passo a passo.
Definição e fórmula:
V_{\mathrm{cm}}=\frac{\sum m_i v_i}{\sum m_i}.
Aqui m_i são as massas dos corpos e v_i são as suas velocidades (todas medidas no mesmo referencial; escolhemos o referencial terrestre). A fórmula diz: o centro de massa de um sistema se move como se toda a massa estivesse concentrada num ponto, cuja velocidade é a média ponderada das velocidades, ponderada pelas massas.
Aplicando aos dois corpos (nave e asteróide):
V_{\mathrm{cm}}=\frac{m_{N}v_{N}+m_{A}v_{A}}{m_{N}+m_{A}}.
Agora substituo os números:
m_{N}v_{N}=1100\cdot 30{,}0 = 33000\quad(\mathrm{kg\cdot m/s}),
m_{A}v_{A}=500\cdot 20{,}0 = 10000\quad(\mathrm{kg\cdot m/s}).
Somando:
\sum m_i v_i = 33000+10000 = 43000\quad(\mathrm{kg\cdot m/s}).
Massa total:
\sum m_i = 1100+500 = 1600\\ \mathrm{kg}.
Logo
V_{\mathrm{cm}}=\frac{43000}{1600}=26{,}875\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando com os algarismos dados:
V_{\mathrm{cm}}\approx 26{,}9\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Distância do centro de massa à nave no instante t_{0}: explico a fórmula de posição do centro de massa e calculo.
Escolho um eixo linear na direção do movimento. Convenção simples: defino a posição da nave no instante t_{0} como x_{N}=0. O asteróide está à frente, então tem posição x_{A}=D=1000\\ \mathrm{m}.
A posição do centro de massa é
x_{\mathrm{cm}}=\frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}=\frac{m_{N}x_{N}+m_{A}x_{A}}{m_{N}+m_{A}}.
Substituindo x_{N}=0 e x_{A}=1000\\ \mathrm{m}:
x_{\mathrm{cm}}=\frac{1100\cdot 0 + 500\cdot 1000}{1600}=\frac{500000}{1600}=312{,}5\\ \mathrm{m}.
Portanto, a distância do centro de massa até a nave (que está em x=0) é
x_{\mathrm{cm}}=312{,}5\\ \mathrm{m}\approx 313\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Discussão física do lançamento do projétil e cálculo da velocidade da nave após o disparo v'_{N}.
Conceito usado: conservação do impulso linear (quantidade de movimento) para o sistema nave+projétil no processo de ejeção. Explicação didática: durante o lançamento o único tipo de força entre nave e projétil são forças internas (força do disparo). Se desprezarmos impulsos externos instantâneos (por exemplo força de atrito com o espaço é desprezível) o momento linear total do sistema nave+projétil é conservado naquele processo de curtíssima duração. A equação é:
\text{momento inicial}=\text{momento final}.
Importante definir claramente quais massas compõem cada lado:
  • Antes do disparo: o conjunto nave+projétil tem massa m_{N}+m_{P} e está se movendo com velocidade v_{N}.
  • Depois do disparo: a nave (com massa m_{N} conforme nossa convenção) passa a mover-se com velocidade v'_{N}; o projétil (massa m_{P}) passa a ter velocidade v_{P} medida no referencial terrestre.
O enunciado dá a velocidade relativa do projétil à nave no lançamento: v_{R}=110{,}0\\ \mathrm{m/s}. Como estamos assumindo que o projétil é lançado para frente (mesmo sentido do movimento), a velocidade do projétil em relação ao solo é, pela regra da soma de velocidades:
v_{P}=v_{N}+v_{R}.
Aqui estou usando a velocidade da nave imediatamente antes do disparo v_{N} como referência para a soma (isto é uma escolha natural simplificadora: o projétil adquire a velocidade relativa v_{R} com respeito à nave no instante do disparo; assim sua velocidade absoluta é v_{N}+v_{R}). Substituindo números:
v_{P}=30{,}0+110{,}0=140{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Agora aplico conservação do momento para o processo de ejeção (toda a álgebra explicada):
(m_{N}+m_{P})v_{N}=m_{N}v'_{N}+m_{P}v_{P}.
Isolando v'_{N}:
m_{N}v'_{N}=(m_{N}+m_{P})v_{N}-m_{P}v_{P},
v'_{N}=\frac{(m_{N}+m_{P})v_{N}-m_{P}v_{P}}{m_{N}}.
Substituo os valores numéricos:
(m_{N}+m_{P})v_{N}=(1100+100)\cdot 30{,}0 = 1200\cdot 30{,}0 = 36000,
m_{P}v_{P}=100\cdot 140{,}0 = 14000.
Logo
m_{N}v'_{N}=36000-14000=22000,
v'_{N}=\frac{22000}{1100}=20{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Interpretando: a nave reduz sua velocidade de 30{,}0 para 20{,}0\\ \mathrm{m/s} por causa do recuo associado ao lançamento do projétil (é um bom exercício mental: lançar massa para frente dá recuo para trás à nave).

Passo 5

Velocidade do projétil em relação ao solo e preparação para a colisão.
Já calculei a velocidade do projétil em relação ao solo imediatamente após o disparo usando a soma simples (porque a velocidade relativa v_{R} foi dada com respeito à nave no instante do disparo):
v_{P}=v_{N}+v_{R}=30{,}0+110{,}0=140{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Nota rápida de interpretação: aqui tomei v_{R} como velocidade do projétil relativa à nave antes do recuo ter sido efetivado (modelo comum em problemas de mecânica elementar). Isso permitiu obter v'_{N}=20{,}0\\ \mathrm{m/s} como no passo anterior.

Passo 6

Colisão perfeitamente inelástica entre o projétil e o asteróide (o projétil fica incrustado). Aplicação da conservação do momento linear para a colisão e cálculo da velocidade final do conjunto.
Conceito: numa colisão inelástica onde dois corpos se unem, o momento linear total dos dois antes da colisão é igual ao momento linear total depois (quando não há forças externas significativas durante o impacto). A energia cinética não é conservada, mas o momento linear sim.
Equação:
m_{A}v_{A}+m_{P}v_{P}=(m_{A}+m_{P})v_{\text{final}},
onde v_{\text{final}} é a velocidade do conjunto (asteróide + projétil) imediatamente após a colisão.
Substituindo números (usei v_{A}=20{,}0\\ \mathrm{m/s} e v_{P}=140{,}0\\ \mathrm{m/s}):
m_{A}v_{A}=500\cdot 20{,}0 = 10000,
m_{P}v_{P}=100\cdot 140{,}0 = 14000.
Somando:
\text{momento total inicial}=10000+14000=24000\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Massa total após a colisão:
m_{A}+m_{P}=500+100=600\\ \mathrm{kg}.
Portanto
v_{\text{final}}=\frac{24000}{600}=40{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação final: após o impacto inelástico, o asteróide com o projétil embutido move-se com 40{,}0\\ \mathrm{m/s} para a frente.

Resposta

(a) 26{,}9\\ \mathrm{m/s}
(b) 313\\ \mathrm{m}
(c) 20{,}0\\ \mathrm{m/s}
(d) 40{,}0\\ \mathrm{m/s}

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