Um pára-quedista de massa m=80 \mathrm{~kg} cai suavemente na direção vertical dentro de um barco em movimento ao longo de um lago. Supondo que a velocidade inicial do barco seja vo =10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} na direção leste e sua massa 240 kg , calcule:
a) A nova velocidade do barco devida à presença do pára-quedista. (7,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s})
b) Uma vez no interior do barco o pára-quedista começa a se mover com v_{\text {rel }}=4,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} relativa ao barco. Qual seria então a velocidade do barco se este pára-quedista se movesse na direção contrária a do barco? (8,5 \mathrm{i} \mathrm{m} / \mathrm{s})
c) Qual o módulo, direção e sentido da velocidade do centro de massa do sistema barco + pára-quedista durante o movimento do pára-quedista descrito no item (b)? ( (7,5 \mathrm{i} \mathrm{m} / \mathrm{s}) )

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que temos e as perguntas):
  • Massa do pára-quedista: m_p=80\\ \mathrm{kg}.
  • Massa do barco: m_b=240\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade inicial do barco: v_0=10\\ \mathrm{m/s} na direção leste.
  • O pára-quedista cai verticalmente para dentro do barco (logo, sua velocidade horizontal antes de pousar é 0\\ \mathrm{m/s}).
  • Depois de dentro do barco o pára-quedista se move com velocidade relativa ao barco v_{\text{rel}}=4{,}0\\ \mathrm{m/s}, na direção contrária à do barco.
O enunciado pede:
(a) A nova velocidade do barco imediatamente após o pára-quedista pousar dentro dele.
(b) A velocidade do barco quando o pára-quedista se movimenta, dentro do barco, com v_{\text{rel}}=4{,}0\\ \mathrm{m/s} na direção contrária à do barco.
(c) O módulo, direção e sentido da velocidade do centro de massa do sistema barco + pára-quedista durante o movimento descrito em (b).

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicação didática): como não existem forças externas horizontais relevantes agindo sobre o conjunto pára-quedista+barco (assumimos impulso externo horizontal desprezível durante o pouso e durante o movimento interno), a quantidade de movimento (momento linear) horizontal total é conservada. A fórmula geral é:
P_{\text{total}}=m_b v_b + m_p v_p,
onde:
  • v_b é a velocidade do barco (no referencial da água/terra),
  • v_p é a velocidade do pára-quedista (no mesmo referencial).
    Explicando: soma-se o produto massa × velocidade de cada corpo; essa soma não muda com interações internas entre eles.

Passo 3

Resolução do item (a). Montamos a conservação de momento horizontal imediatamente antes e imediatamente depois do pouso.
Antes do pouso:
P_{\text{antes}}=m_b v_0 + m_p \cdot 0 = 240\cdot10 + 80\cdot0 = 2400\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Depois do pouso (pára-quedista e barco movem-se juntos instantaneamente com a mesma velocidade v_f):
P_{\text{depois}}=(m_b+m_p)\,v_f.
Igualando momentos:
(m_b+m_p)\,v_f = 2400.
Substituindo massas:
(240+80)\,v_f = 2400 \quad\Rightarrow\quad 320\,v_f = 2400.
Calculando v_f:
v_f = \frac{2400}{320} = 7{,}5\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: a velocidade do conjunto após o pouso é 7{,}5\\ \mathrm{m/s} para leste.

Passo 4

Preparação para o item (b): durante o movimento interno do pára-quedista dentro do barco não há força horizontal externa importante, portanto o momento total horizontal do sistema continua constante e igual ao valor obtido antes (ou seja, 2400\\ \mathrm{kg\cdot m/s}). Vou escolher orientação positiva para leste. Precisamos relacionar a velocidade do pára-quedista no solo ( v_p) com a velocidade do barco ( v_b) quando é especificada a velocidade relativa v_{\text{rel}}=4{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Convencionando sinais: v_{\text{rel}} é a velocidade do pára-quedista relativa ao barco. O enunciado diz que ele se move “na direção contrária a do barco” com módulo 4{,}0\\ \mathrm{m/s}. Como definimos leste positivo, isso significa que, relativamente ao barco, o pára-quedista tem velocidade -4{,}0\\ \mathrm{m/s} (o sinal negativo porque é para oeste). A relação entre velocidades absoluta e relativa é:
v_p = v_b + v_{p/b},
onde v_{p/b} é a velocidade do pára-quedista em relação ao barco. Como v_{p/b}=-4{,}0\\ \mathrm{m/s}, temos:
v_p = v_b - 4{,}0.

Passo 5

Agora aplicamos conservação de momento com essa relação. O momento total (constante) é 2400\\ \mathrm{kg\cdot m/s}:
m_b v_b + m_p v_p = 2400.
Substituindo v_p = v_b - 4{,}0:
240\,v_b + 80\,(v_b - 4{,}0) = 2400.
Desenvolvendo:
240\,v_b + 80\,v_b - 320 = 2400.
Somando os termos em v_b:
320\,v_b - 320 = 2400.
Isolando v_b:
320\,v_b = 2400 + 320 = 2720,
v_b = \frac{2720}{320} = 8{,}5\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: o barco acelera para leste e atinge 8{,}5\\ \mathrm{m/s} quando o pára-quedista caminha para trás relativo ao barco.
Comentário adicional útil para a prova: apesar do pára-quedista se mover “para trás” relativo ao barco, é possível que o pára-quedista ainda tenha velocidade para leste no referencial do solo, porque o barco está indo rápido. Aqui, v_p=v_b-4{,}0=8{,}5-4{,}0=4{,}5\\ \mathrm{m/s} para leste — ou seja, o pára-quedista se desloca para trás dentro do barco, mas ainda se move para leste relativamente ao solo.

Passo 6

Resolução do item (c): velocidade do centro de massa (CM) do sistema barco+pára-quedista durante o movimento interno. Pelo teorema do centro de massa, se não há força externa resultante horizontal, a velocidade do CM é constante e dada por:
V_{\text{CM}}=\frac{P_{\text{total}}}{M_{\text{total}}} = \frac{m_b v_b + m_p v_p}{m_b+m_p}.
Usamos o momento total que já conhecemos ( 2400\\ \mathrm{kg\cdot m/s}) e a massa total 320\\ \mathrm{kg}:
V_{\text{CM}} = \frac{2400}{320} = 7{,}5\\ \mathrm{m/s}.
Direção e sentido: leste (mesmo sentido da velocidade inicial do barco). Observação conceitual: mesmo quando o barco acelera para leste para compensar o movimento relativo do pára-quedista, o CM continua se movendo com a velocidade constante determinada pela situação inicial — por isso V_{\text{CM}} permanece 7{,}5\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

(a) 7{,}5\\ \mathrm{m/s} leste
(b) 8{,}5\\ \mathrm{m/s} leste
(c) 7{,}5\\ \mathrm{m/s} leste

Exercícios relacionados