Suponhamos que a chegada de navios a um porto segue um processo de Poisson, com número médio de chegadas em 6 horas igual a 12 .
Qual a probabilidade de exatamente 2 navios chegarem em 3 horas

Passo 1

O enunciado diz que a chegada de navios a um porto segue um processo de Poisson e que o número médio de chegadas em 6 horas é 12. A pergunta é: qual a probabilidade de exatamente 2 navios chegarem em 3 horas? Dados relevantes listados: \text{média em }6\text{ h} = 12é; intervalo de interesse = 3 h; queremos P(\text{exatamente }2\text{ chegadas em }3\text{ h}).

Passo 2

Vamos encontrar a média esperada no intervalo de 3 horas a partir da informação dada. Em processos de contagem como este, a média é proporcional ao tempo: se a média em 6 horas é 12, a taxa por hora (média por 1 hora) é
\lambda_{\text{hora}}=\frac{12}{6}=2.
Portanto a média em 3 horas é
m=\lambda_{\text{hora}}\times 3 = 2\times 3 = 6.
Aqui m representa o valor esperado (média) do número de chegadas no intervalo de 3 horas.

Passo 3

Agora a fórmula que usamos para a probabilidade de exatamente k ocorrências num intervalo quando a contagem segue Poisson é a seguinte:
P(N=k)=e^{-m}\frac{m^{k}}{k!},
onde:
  • N é a variável aleatória que conta o número de chegadas no intervalo;
  • k é o número específico de ocorrências que queremos (aqui k=2);
  • m é a média de ocorrências no intervalo considerado (aqui m=6);
  • k! é o fatorial de k (produto de inteiros de 1 até k);
  • e é a base dos logaritmos naturais (aprox. 2,71828\ldots).
    Essa fórmula vem da definição da distribuição de Poisson; pense nela como a expressão que dá a probabilidade de exatamente k eventos ocorrerem quando a média esperada é m.

Passo 4

Aplicando a fórmula com k=2 e m=6:
P(N=2)=e^{-6}\frac{6^{2}}{2!}.
Calculemos partes simples: 6^{2}=36 e 2!=2. Logo
P(N=2)=e^{-6}\frac{36}{2}=18\,e^{-6}.
Isso é a forma exata da probabilidade.

Passo 5

Vamos avaliar numericamente para ter uma ideia prática. Primeiro, e^{-6} é aproximadamente 0,002478752176666\ldots. Multiplicando por 18 temos
P(N=2)\approx 18\times 0,002478752176666\ldots \approx 0,044617538.
Arredondando para quatro casas decimais após a vírgula (útil em provas) obtemos 0,0446, ou seja cerca de 4{,}46\%.

Passo 6

Resumo rápido para gravar na cabeça antes da prova: quando a média em um intervalo maior é dada, encontre a taxa por unidade de tempo, multiplique pelo tempo do intervalo de interesse para obter m, e aplique
P(N=k)=e^{-m}\frac{m^{k}}{k!}.
Um mini-exemplo extra: a probabilidade de não chegar nenhum navio em 3 horas é P(N=0)=e^{-6}\approx0{,}00248, bem pequena — mostra que m=6 é relativamente grande para um intervalo de 3 horas.

Resposta

\;18e^{-6}\approx0,04462

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