Suponhamos que a chegada de navios a um porto segue um processo de Poisson, com número médio de chegadas em 6 horas igual a 12 .
Qual a probabilidade de exatamente 2 navios chegarem em 3 horas
Qual a probabilidade de exatamente 2 navios chegarem em 3 horas
Passo 1
O enunciado diz que a chegada de navios a um porto segue um processo de Poisson e que o número médio de chegadas em
horas é
. A pergunta é: qual a probabilidade de exatamente
navios chegarem em
horas? Dados relevantes listados:
; intervalo de interesse
h; queremos
.
Passo 2
Vamos encontrar a média esperada no intervalo de
horas a partir da informação dada. Em processos de contagem como este, a média é proporcional ao tempo: se a média em
horas é
, a taxa por hora (média por 1 hora) é
Portanto a média em
horas é
Aqui
representa o valor esperado (média) do número de chegadas no intervalo de
horas.
Passo 3
Agora a fórmula que usamos para a probabilidade de exatamente
ocorrências num intervalo quando a contagem segue Poisson é a seguinte:
onde:
-
é a variável aleatória que conta o número de chegadas no intervalo; -
é o número específico de ocorrências que queremos (aqui ); -
é a média de ocorrências no intervalo considerado (aqui ); -
é o fatorial de (produto de inteiros de até ); -
é a base dos logaritmos naturais (aprox. ).
Essa fórmula vem da definição da distribuição de Poisson; pense nela como a expressão que dá a probabilidade de exatamenteeventos ocorrerem quando a média esperada é .
Passo 4
Aplicando a fórmula com
e
:
Calculemos partes simples:
e
. Logo
Isso é a forma exata da probabilidade.
Passo 5
Vamos avaliar numericamente para ter uma ideia prática. Primeiro,
é aproximadamente
. Multiplicando por
temos
Arredondando para quatro casas decimais após a vírgula (útil em provas) obtemos
, ou seja cerca de
.
Passo 6
Resumo rápido para gravar na cabeça antes da prova: quando a média em um intervalo maior é dada, encontre a taxa por unidade de tempo, multiplique pelo tempo do intervalo de interesse para obter
, e aplique
Um mini-exemplo extra: a probabilidade de não chegar nenhum navio em
horas é
, bem pequena — mostra que
é relativamente grande para um intervalo de
horas.