Joga-se um dado equilibrado repetidas vezes até observarmos o número 6 pela primeira vez. Seja X o total de lançamentos realizados, e Y o total de lançamentos onde observamos algo diferente de 6. Encontre a função probabilidade, esperança e variância de X e Y.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: a gente joga um dado justo até sair o primeiro “6”.
  • X = número total de lançamentos até esse primeiro 6.
  • Y = número de lançamentos onde não saiu 6 (ou seja, todos os “fracassos” antes do sucesso).
    Isso cai na teoria da Distribuição Geométrica (aquela que modela “quantos testes até o primeiro sucesso”). Para resolver, a gente vai precisar:
  1. Saber o pmf (função probabilidade) da geométrica.
  2. As fórmulas de esperança e variância para essa distribuição.

Passo 2

Primeiro, a probabilidade de sucesso (sair 6) em cada lançamento é
p = tfrac16
Na geométrica,
P(X = k) = (1-p)^,k-1,p, k = 1,2,3,dots
Aqui fica
P(X = k) = l(tfrac56r)^k-1,tfrac16, k = 1,2,dots

Passo 3

Agora a esperança e a variância de E[X] = 1p, Var(X) = 1-pp^2 .
Na distribuição geométrica valendo E[X] = 11/6 = 6, :
Var(X) = 1 - 1/6(1/6)^2 = 5/61/36 = 30
Substituindo :

Passo 4

Agora Y = X - 1 . Note que P(Y = y) = P(X = y+1) = l(tfrac56r)^y,tfrac16 é justamente “quantos não-6” até o primeiro 6, ou seja
Logo, para :

Passo 5

E para esperança e variância de E[Y] = E[X] - 1 = 6 - 1 = 5 :
  • Como Var(Y) = Var(X) = 30 , a esperança ajusta em :
  • Variância não muda ao subtrair constante, então

Resposta

Funções probabilidade:

Esperanças:
Variâncias:

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