Joga-se um dado equilibrado repetidas vezes até observarmos o número 6 pela primeira vez. Seja X o total de lançamentos realizados, e Y o total de lançamentos onde observamos algo diferente de 6. Encontre a função probabilidade, esperança e variância de
e
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: a gente joga um dado justo até sair o primeiro “6”.
- X = número total de lançamentos até esse primeiro 6.
- Y = número de lançamentos onde não saiu 6 (ou seja, todos os “fracassos” antes do sucesso).
Isso cai na teoria da Distribuição Geométrica (aquela que modela “quantos testes até o primeiro sucesso”). Para resolver, a gente vai precisar:
- Saber o pmf (função probabilidade) da geométrica.
- As fórmulas de esperança e variância para essa distribuição.
Passo 2
Primeiro, a probabilidade de sucesso (sair 6) em cada lançamento é
Na geométrica,
Aqui fica
Passo 3
Agora a esperança e a variância de
.
Na distribuição geométrica valendo :
Na distribuição geométrica valendo
Substituindo
:
Passo 4
Agora
. Note que
é justamente “quantos não-6” até o primeiro 6, ou seja
Logo, para
:
Passo 5
E para esperança e variância de
:
- Como
, a esperança ajusta em : - Variância não muda ao subtrair constante, então
Resposta
Funções probabilidade:
Esperanças:
Variâncias: