Uma urna possui 4 bolas vermelhas, 4 bolas verdes e 2 amarelas. Usando esta urna, faremos dois experimentos aleatórios. No primeiro sortearemos 2 bolas, sem reposição. No segundo sortearemos um total de 100 bolas, agora com reposição.
Seja Y o total de bolas vermelhas sorteadas no primeiro experimento, e X o total de bolas amarelas sorteadas no segundo experimento.
Nestas condições, faça o que se pede.
Determine a média e variância de X.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz o seguinte: temos uma urna com 4 bolas vermelhas, 4 verdes e 2 amarelas (total de 10 bolas). No segundo experimento, a gente sorteia 100 bolas com reposição e define como o número de bolas amarelas que saem nessas 100 retiradas.
Conteúdo: probabilidade e distribuição binomial.
O que vamos usar: quando a gente faz várias retiradas com reposição de um mesmo “evento” que tem probabilidade fixa de acontecer, cada retirada é uma tentativa de Bernoulli, e a soma dessas tentativas segue uma distribuição binomial.

Passo 2

Qual a chance de sair uma bola amarela em cada extração? Como tem 2 amarelas em 10 bolas,
p = Pr(amarela) = 210 = 0,2
Cada extração é independente por causa da reposição, então podemos modelar X sim Binomial(n=100,,p=0.2) como

Passo 3

Agora lembramos das fórmulas da binomial:
  • A média (esperança) é E[X] = n,p
  • A variância é Var(X) = n,p,(1-p)

Passo 4

É só substituir E[X] = 100 times 0.2 = 20 e Var(X) = 100 times 0.2 times (1 - 0.2) = 100 times 0.2 times 0.8 = 16 :

Resposta

Média de :
Variância de :

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