Uma urna possui 4 bolas vermelhas, 4 bolas verdes e 2 amarelas. Usando esta urna, faremos dois experimentos aleatórios. No primeiro sortearemos 2 bolas, sem reposição. No segundo sortearemos um total de 100 bolas, agora com reposição.
Seja Y o total de bolas vermelhas sorteadas no primeiro experimento, e
o total de bolas amarelas sorteadas no segundo experimento.
Nestas condições, faça o que se pede.
Determine a média e a variância de Y .
Seja Y o total de bolas vermelhas sorteadas no primeiro experimento, e
Nestas condições, faça o que se pede.
Determine a média e a variância de Y .
Passo 1
Beleza, olha só o que tá rolando: temos uma urna com 10 bolas (4 vermelhas, 4 verdes e 2 amarelas). No primeiro experimento a gente tira 2 bolas sem repor e conta quantas são vermelhas – isso é a nossa variável aleatória
. O que a questão pede é a média (
) e a variância (
) dessa variável. O conteúdo é de variáveis aleatórias, mais especificamente a distribuição hipergeométrica, e pra resolver precisamos usar as fórmulas de média e variância dessa distribuição.
Passo 2
Quando você tira
itens de um total de
sem reposição, sendo
itens “sucesso” (aqui, bolas vermelhas), a distribuição de
é a hipergeométrica:
As fórmulas padrão são:
Passo 3
Agora a gente coloca os números do problema:
-
(total de bolas), -
(bolas vermelhas), -
(quantas a gente tira).
Para a média:
Passo 4
E para a variância:
Calculando:
Ou em fração,
.
Resposta
Média:
Variância:
Variância: