Uma urna possui 4 bolas vermelhas, 4 bolas verdes e 2 amarelas. Usando esta urna, faremos dois experimentos aleatórios. No primeiro sortearemos 2 bolas, sem reposição. No segundo sortearemos um total de 100 bolas, agora com reposição.
Seja Y o total de bolas vermelhas sorteadas no primeiro experimento, e X o total de bolas amarelas sorteadas no segundo experimento.
Nestas condições, faça o que se pede.
Determine a média e a variância de Y .

Passo 1

Beleza, olha só o que tá rolando: temos uma urna com 10 bolas (4 vermelhas, 4 verdes e 2 amarelas). No primeiro experimento a gente tira 2 bolas sem repor e conta quantas são vermelhas – isso é a nossa variável aleatória . O que a questão pede é a média ( ) e a variância ( ) dessa variável. O conteúdo é de variáveis aleatórias, mais especificamente a distribuição hipergeométrica, e pra resolver precisamos usar as fórmulas de média e variância dessa distribuição.

Passo 2

Quando você tira Y sim Hyper>=oml(N,,K,,nr) itens de um total de E[Y] ;=; n;KN, Var(Y) ;=; n;KN;l(1-KNr);N - n,N - 1, sem reposição, sendo itens “sucesso” (aqui, bolas vermelhas), a distribuição de é a hipergeométrica:
As fórmulas padrão são:

Passo 3

Agora a gente coloca os números do problema:
  • E[Y] = 2 times 410 = 2 times 0,4 = 0,8 (total de bolas),
  • (bolas vermelhas),
  • (quantas a gente tira).
Para a média:

Passo 4

E para a variância:
Var(Y) = 2 times 410 times l(1 - 410r) times 10 - 210 - 1 = 2 times 0,4 times 0,6 times 89
Calculando:
2 times 0,4 = 0,8, 0,8 times 0,6 = 0,48, 0,48 times 89 = 0,48 times 89 = 3,849 approx 0,4267
Ou em fração, .

Resposta

Média:
Variância:

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