Um jogador de basquete vai realizar um arremesso a cesta. O jogador está distante 8 m da cesta e lança a bola numa velocidade cujo módulo vale 10 m / s. A bola é lançada das mãos do jogador a uma altura de 2 m e alcança a cesta localizada 3 m acima do solo. Qual o ângulo de inclinação que deve ter o lançamento para que o arremesso seja efetuado corretamente?

Passo 1

Beleza, então o problema é o seguinte: um cara vai arremessar uma bola de basquete a 8 m de distância da cesta, ele solta a bola de 2 m do chão com velocidade de 10 m/s, e a cesta está a 3 m de altura. A pergunta é: com que ângulo em relação ao chão ele deve lançar pra bola passar pela altura de 3 m quando estiver a 8 m de distância?
Conteúdo: é um movimento de projétil (tiro oblíquo). Vamos precisar da decomposição da velocidade em componentes horizontal e vertical, das equações do movimento e de resolver uma equação para encontrar o ângulo θ.

Passo 2

Primeiro, escrever as equações paramétricas do projétil:
– Na horizontal (eixo x):
x(t) = v0 costheta ; t
– Na vertical (eixo y), tomando y(0)=2 m e g=9,8 m/s² apontando pra baixo:
y(t) = 2 + v0 sintheta ; t ;-;tfrac12,g,t^2
Como a gente quer que, quando m, o y seja 3 m, primeiro achamos o tempo em função de θ pela equação de .

Passo 3

Da equação 8 = v0costheta;t Longrightarrow t = 810costheta = 45costheta , temos
3 = 2 + 10sintheta;l(45costhetar) - tfrac12cdot9,8;l(45costhetar)^2
Agora põe esse em :

Passo 4

Simplifica passo a passo:
  1. A parte do seno cisado:
10sintheta;45costheta = 8tantheta
  1. A parte da gravidade:
tfrac12cdot9,8;1625cos^2theta = 9,8cdot1650,1cos^2theta = 156,850,1cos^2theta =3,136;1cos^2theta
Então a equação vira
3 = 2 + 8tantheta ;-;3,136,1cos^2theta
Passa o 2 pro outro lado e usa 1 = 8tantheta -3,136,(1+tan^2theta) :

Passo 5

Organiza como equação do 2º grau em 1 = 8u -3,136 -3,136,u^2 Longrightarrow 3,136,u^2 -8u +4,136 = 0 :
u = 8 pm raiz(-8)^2 -4cdot3,136cdot4,1362cdot3,136 = 8 pm raiz64 -51,9011846,272 = 8 pm raiz12,0988166,272
Use a fórmula de Bhaskara:
u1 approx 0,721, u2 approx 1,829
Calculando, dá

Passo 6

Agora é só tirar o ângulo:
theta1 = arctan(0,721)approx 35,8^circ, theta2 = arctan(1,829)approx 61,3^circ
São duas trajetórias possíveis: uma mais “ralinha” (~35,8°) e outra com arco mais “alto” (~61,3°).

Resposta

O arremesso pode ser feito com ângulo de aproximadamente
35,8° ou 61,3° em relação ao solo.

Exercícios relacionados