Um jogador de beisebol rebate uma bola que deixa o bastão a uma altura de 1 m acima do solo, com velocidade inicial de 30 m / s, formando um ângulo de 36,9^circ acima da horizontal. A bola é rebatida diretamente na direção de um jogador que está a 100 m de distância e começa a correr no instante em que a bola é rebatida. Qual deve ser a sua velocidade média para que ele consiga pegar a bola no instante em que ela está a 1 m acima do solo?

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é analisar o movimento da bola como um projétil. Temos:
• Altura inicial da bola y0=1,m
• Velocidade inicial v0=30,m/s
• Ângulo de lançamento theta=36,9^circ
• Jogador está a 100,m do ponto de batida e sai correndo no mesmo instante.
Conteúdo: cinemática de projétil (movimento uniformemente variado na vertical e uniforme na horizontal). Vamos precisar:
  1. Decompor v0 em componentes horizontal ( v0x=v0costheta) e vertical ( v0y=v0sintheta).
  2. Usar a equação y(t)=y0+v0yt-tfrac12>^2 para achar o tempo em que y(t)=1,m de novo.
  3. Calcular x(t)=v0x,t para saber onde a bola está.
  4. Calcular a velocidade média do corredor como distância que ele percorre dividido por esse mesmo tempo.

Passo 2

Encontrar o tempo t em que a bola volta a y=1,m.
A equação vertical é
y(t)=y0+v0y,t-12>^2,
Como y0=1,m e queremos y(t)=1,m, temos:
1 = 1 + (v0sintheta),t - tfrac12,g,t^2
que simplifica para
v0sintheta;t - tfrac12,g,t^2 = 0,
Fatorando t:
t,(v0sintheta - tfrac12,g,t)=0,
Ignoramos t=0 e pegamos
t = 2,v0sinthetag,
Substituindo v0=30,m/s, sin36,9^circ=0,6 e g=9,8,m/s²:
t = 2cdot30cdot0,69,8approx 369,8approx3,67 s,

Passo 3

Calcular a distância horizontal percorrida pela bola até esse instante.
Componente horizontal da velocidade:
v0x=v0costheta = 30cdotcos36,9^circ = 30cdot0,8 =24 m/s,
Então
x(t)=v0x,t = 24cdot3,67 approx88,1 m,
Isso significa que, no instante em que a bola retorna a 1 m de altura, ela está a 88,1 m do ponto de batida.

Passo 4

O jogador estava a 100 m e precisa chegar em 88,1 m no mesmo tempo t=3,67,s.
Distância que ele percorre:
d = 100 - 88,1 = 11,9 m,
Velocidade média necessária:
vrm jog = dt = 11,93,67 approx3,25 m/s,

Resposta

A velocidade média do jogador deve ser aproximadamente 3,25,m/s.

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