Um rebatedor atinge uma bola a uma altura de 1,2 m do solo de modo que o ângulo de projeção seja de 45^circ com a horizontal e o alcance, de 106,7 m. A bola ultrapassa a linha esquerda do campo onde está localizada uma cerca de 7,3 m de altura, situada a 97,5 m do alvo. A bola ultrapassará a cerca? Em caso positivo, de quanto?

Passo 1

Então, a questão diz que um rebatedor acerta a bola a 1,2 m do chão, com ângulo de 45° e essa bola cai a 106,7 m de distância (esse é o alcance total). No campo, tem uma cerca de 7,3 m de altura que está a 97,5 m do ponto onde a bola eventualmente cairia. A gente quer saber se, naquele instante em que a bola passa em cima da cerca (distância horizontal de 97,5 m), ela está mais alta do que 7,3 m – e, se sim, de quanto.
Conteúdo: movimento de projétil (MRUV no eixo vertical + MU no eixo horizontal). Vamos usar a fórmula do alcance para achar a velocidade inicial e, em seguida, a equação da trajetória para calcular a altura da bola na posição da cerca.

Passo 2

Calcular a velocidade inicial R ;=;v0^2,sin(2theta)g usando a fórmula do alcance de um projétil sem atrito:
v0^2 ;=; R,g Longrightarrow v0 ;=;raiz106,7cdot9,8 ;approx;32,34 m/s
Aqui m, e m/s². Como , temos

Passo 3

Agora escrevemos a equação da trajetória y(x) ;=; y0 ;+; xtantheta ;-;g,x^22,v0^2cos^2theta, , que vem de decompor o movimento em eixos:
onde m e . Note que e .

Passo 4

Queremos y(97,5) =1,2 ;+;97,5cdot1 ;-;9,8,(97,5)^22,(32,34)^2,(0,5) em y(97,5) approx1,2 + 97,5 - 9,8cdot9506,251045,7 approx98,7 -89,16 approx9,54 m m:
Repare que e . Então

Passo 5

A cerca tem 7,3 m e a bola, ali, está a 9,54 m de altura.

Resposta

Sim, a bola ultrapassa a cerca.
Ela passa cerca de metros acima da parte mais alta da cerca.

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