Esboce o traço da curva
determinada pela função vetorial
, sendo:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o traço da curva
dada pela função vetorial
Informações explícitas que temos:
- A componente
é . - A componente
é . - A componente
é . - O parâmetro
varia em .
As perguntas implícitas para o esboço: onde a curva começa, em que superfície ela está contida, como ela se move (direção), qual o movimento ao longo do eixoe quais pontos-chave marcar no rascunho.
Passo 2
Escrevendo as componentes (isso é importante para entender a forma):
Agora observamos a projeção da curva no plano
. Eliminando
:
Logo, a curva está sempre sobre a mesma elipse no plano
. Em forma explícita:
Interpretação prática: para cada
a posição
está sobre essa elipse, enquanto
cresce com
.
Passo 3
Conclusão geométrica imediata:
é uma hélice elíptica (ou hélice sobre um cilindro elíptico) cujo eixo é o eixo
. Mais precisamente,
está contida no cilindro elíptico paralelo ao eixo
dado por
Características úteis para o esboço:
- Período das funções trigonométricas: ao aumentar
de para a projeção dá uma volta completa na elipse. Nesse intervalo aumenta de para . Portanto o avanço axial (pitch) por volta é . - A curva não retorna ao mesmo ponto porque
aumenta; ela dá voltas sucessivas deslocando-se no sentido positivo de .
Passo 4
Determine a posição inicial e pontos-chave (marque estes no esboço):
Valores em quartos de volta:
Esses quatro/quintuple pontos marcam uma volta completa da hélice: observe que em
e
a projeção no plano
é o mesmo ponto
, mas com
diferente.
Passo 5
Direção do movimento (orientação) — use a derivada:
Em
,
ou seja, no início a curva aumenta em
e em
(vai para cima em
). Observando a sequência dos pontos do Passo 4, para
indo de
a
o ponto vai de
para
na projeção
: isso significa que, vista no plano
com eixo
à direita e
para cima, a volta é no sentido anti-horário quando
cresce. Portanto a hélice enrola ao redor do cilindro elíptico deslocando-se para o lado positivo de
.
Passo 6
Projeções úteis para desenho à mão (faça estes rascunhos e combine-os):
- Projeção no plano
: desenhe a elipse . Marque os pontos . - Projeção no plano
: é a curva (pois ), isto é, uma oscilação de amplitude ao longo do eixo . - Projeção no plano
: é a curva , uma oscilação de amplitude ao longo do eixo .
Dica prática de esboço: primeiro desenhe o eixohorizontal. Ao longo dele marque . Em cada marca coloque o ponto correspondente da elipse (por exemplo em ponha , em ponha , etc.). Depois ligue esses pontos por uma curva suave que enrola ao redor do cilindro elíptico, lembrando que entre esses pontos a curva segue a elipse projetada em .
Passo 7
Como esboçar passo a passo no papel:
- Desenhe três eixos:
(para a direita), (para a direita/fora) e (para cima). - Em vários valores de
igualmente espaçados (por ex. ) desenhe a elipse no plano mas deslocada para a coordenada correspondente (isto representa o cilindro elíptico cortado por planos constante). - Marque os pontos do Passo 4 e ligue-os formando uma linha contínua que sobe/ desce em
e oscila em enquanto avança em . Ponha setas indicando que cresce para a direita em e que a volta na elipse é anti-horária vista no plano . - Anote o pitch: após cada volta completa (
aumenta de para ) a curva avançou unidades em .
Resposta
Curva
é uma hélice elíptica contida no cilindro
, com parametrização
. Começa em
, passa por
e volta à mesma posição em
a cada
enquanto avança
em
; a volta na elipse é anti-horária (visto no plano
) e o sentido de deslocamento é para
positivo.