Esboce o traço da curva C determinada pela função vetorial \mathbf{r}(t), sendo:
\mathbf{r}(t)=t \mathbf{i}+4 \cos t \mathbf{j}+9 \sin t \mathbf{k}, \quad t \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o traço da curva C dada pela função vetorial
\mathbf{r}(t)=t\,\mathbf{i}+4\cos t\,\mathbf{j}+9\sin t\,\mathbf{k},\qquad t\ge 0.
Informações explícitas que temos:
  • A componente x é x(t)=t.
  • A componente y é y(t)=4\cos t.
  • A componente z é z(t)=9\sin t.
  • O parâmetro t varia em [0,\infty).
    As perguntas implícitas para o esboço: onde a curva começa, em que superfície ela está contida, como ela se move (direção), qual o movimento ao longo do eixo x e quais pontos-chave marcar no rascunho.

Passo 2

Escrevendo as componentes (isso é importante para entender a forma):
x=t,\qquad y=4\cos t,\qquad z=9\sin t.
Agora observamos a projeção da curva no plano yz. Eliminando t:
\frac{y^2}{4^2}+\frac{z^2}{9^2}=\cos^2 t+\sin^2 t=1.
Logo, a curva está sempre sobre a mesma elipse no plano yz. Em forma explícita:
\frac{y^2}{16}+\frac{z^2}{81}=1.
Interpretação prática: para cada t a posição (y,z) está sobre essa elipse, enquanto x cresce com t.

Passo 3

Conclusão geométrica imediata: C é uma hélice elíptica (ou hélice sobre um cilindro elíptico) cujo eixo é o eixo x. Mais precisamente, C está contida no cilindro elíptico paralelo ao eixo x dado por
\frac{y^2}{16}+\frac{z^2}{81}=1.
Características úteis para o esboço:
  • Período das funções trigonométricas: ao aumentar t de 0 para 2\pi a projeção (y,z) dá uma volta completa na elipse. Nesse intervalo x aumenta de 0 para 2\pi. Portanto o avanço axial (pitch) por volta é 2\pi.
  • A curva não retorna ao mesmo ponto porque x aumenta; ela dá voltas sucessivas deslocando-se no sentido positivo de x.

Passo 4

Determine a posição inicial e pontos-chave (marque estes no esboço):
\mathbf{r}(0)=(0,4,0).
Valores em quartos de volta:
\mathbf{r}\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\left(\frac{\pi}{2},0,9\right),\qquad \mathbf{r}(\pi)=(\pi,-4,0),
\mathbf{r}\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=\left(\tfrac{3\pi}{2},0,-9\right),\qquad \mathbf{r}(2\pi)=(2\pi,4,0).
Esses quatro/quintuple pontos marcam uma volta completa da hélice: observe que em t=0 e t=2\pi a projeção no plano yz é o mesmo ponto (4,0), mas com x diferente.

Passo 5

Direção do movimento (orientação) — use a derivada:
\mathbf{r}'(t)=\mathbf{i}-4\sin t\,\mathbf{j}+9\cos t\,\mathbf{k}.
Em t=0,
\mathbf{r}'(0)=\mathbf{i}+9\,\mathbf{k},
ou seja, no início a curva aumenta em x e em z (vai para cima em z). Observando a sequência dos pontos do Passo 4, para t indo de 0 a \tfrac{\pi}{2} o ponto vai de (4,0) para (0,9) na projeção yz: isso significa que, vista no plano yz com eixo y à direita e z para cima, a volta é no sentido anti-horário quando t cresce. Portanto a hélice enrola ao redor do cilindro elíptico deslocando-se para o lado positivo de x.

Passo 6

Projeções úteis para desenho à mão (faça estes rascunhos e combine-os):
  • Projeção no plano yz: desenhe a elipse \dfrac{y^2}{16}+\dfrac{z^2}{81}=1. Marque os pontos (4,0),(0,9),(-4,0),(0,-9).
  • Projeção no plano xy: é a curva y=4\cos x (pois x=t), isto é, uma oscilação de amplitude 4 ao longo do eixo x.
  • Projeção no plano xz: é a curva z=9\sin x, uma oscilação de amplitude 9 ao longo do eixo x.
    Dica prática de esboço: primeiro desenhe o eixo x horizontal. Ao longo dele marque x=0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2},2\pi. Em cada marca coloque o ponto correspondente da elipse (por exemplo em x=0 ponha (0,4,0), em x=\tfrac{\pi}{2} ponha (\tfrac{\pi}{2},0,9), etc.). Depois ligue esses pontos por uma curva suave que enrola ao redor do cilindro elíptico, lembrando que entre esses pontos a curva segue a elipse projetada em yz.

Passo 7

Como esboçar passo a passo no papel:
  1. Desenhe três eixos: x (para a direita), y (para a direita/fora) e z (para cima).
  2. Em vários valores de x=t igualmente espaçados (por ex. 0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2},2\pi) desenhe a elipse no plano yz mas deslocada para a coordenada x correspondente (isto representa o cilindro elíptico cortado por planos x= constante).
  3. Marque os pontos do Passo 4 e ligue-os formando uma linha contínua que sobe/ desce em z e oscila em y enquanto avança em x. Ponha setas indicando que t cresce para a direita em x e que a volta na elipse é anti-horária vista no plano yz.
  4. Anote o pitch: após cada volta completa ( t aumenta de 0 para 2\pi) a curva avançou 2\pi unidades em x.

Resposta

Curva C é uma hélice elíptica contida no cilindro \dfrac{y^2}{16}+\dfrac{z^2}{81}=1, com parametrização x=t,\;y=4\cos t,\;z=9\sin t. Começa em (0,4,0), passa por \left(\tfrac{\pi}{2},0,9\right),(\pi,-4,0),\left(\tfrac{3\pi}{2},0,-9\right) e volta à mesma posição em yz a cada t\to t+2\pi enquanto avança 2\pi em x; a volta na elipse é anti-horária (visto no plano yz) e o sentido de deslocamento é para x positivo.

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