Um jogador de futebol lança uma bola segundo um ângulo de
com a horizontal e velocidade escalar de
. Considerando que a bola se move em um plano vertical, encontre:
a) O tempo onde a bola alcança a altura máxima de sua trajetória;
b) O valor de sua altura máxima;
c) Seu alcance;
d) Seu tempo de voo;
e) Sua velocidade quando bate de novo no chão.
a) O tempo onde a bola alcança a altura máxima de sua trajetória;
b) O valor de sua altura máxima;
c) Seu alcance;
d) Seu tempo de voo;
e) Sua velocidade quando bate de novo no chão.
Passo 1
O enunciado dá que a bola é lançada com velocidade escalar inicial
e ângulo em relação à horizontal
. A bola se move num plano vertical sob a aceleração da gravidade que tomaremos como
.
Perguntas a responder:
a) tempo em que a bola alcança a altura máxima;
b) valor da altura máxima;
c) alcance horizontal (distância horizontal até cair);
d) tempo total de voo;
e) velocidade (módulo da velocidade) quando bate de novo no chão.
Perguntas a responder:
a) tempo em que a bola alcança a altura máxima;
b) valor da altura máxima;
c) alcance horizontal (distância horizontal até cair);
d) tempo total de voo;
e) velocidade (módulo da velocidade) quando bate de novo no chão.
Todas as informações relevantes estão acima. A partir delas vamos decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical e usar as equações do movimento uniformemente acelerado na direção vertical e movimento uniforme na horizontal.
Passo 2
Decompor a velocidade inicial em componentes é o primeiro passo. As fórmulas são:
Aqui
é a componente horizontal (constante, pois não há aceleração horizontal),
é a componente vertical inicial (sujeita à aceleração
),
é a velocidade inicial e
o ângulo de lançamento.
Calculando os valores numéricos usando
e
:
(Estes valores vamos usar nas etapas seguintes. Eu arredondei a
casas decimais para ficar prático na prova.)
Passo 3
Tempo até a altura máxima. Raciocínio físico: na direção vertical a velocidade varia como
No ponto mais alto a velocidade vertical é zero, isto é
. Igualando,
Substituindo o valor de
:
Interpretação: em cerca de
a bola chega ao ponto mais alto.
Passo 4
Altura máxima. Podemos usar a equação de conservação de energia ou a equação cinemática vertical sem tempo. Usando cinemática:
No topo
e
, então
Substituindo
:
Portanto a altura máxima é cerca de
.
Passo 5
Tempo total de voo
. Por simetria do movimento vertical (mesma subida e descida em altura quando o ponto de partida e chegada têm a mesma altitude), o tempo total é duas vezes o tempo até o topo:
Com os números:
Alcance horizontal
. Movimento horizontal é uniforme com velocidade
, logo
Substituindo:
(Alternativamente poderia usar a fórmula
, que dá o mesmo resultado.)
Passo 6
Velocidade quando bate de novo no chão (módulo da velocidade). Explicação física e matemática: sem resistência do ar, a componente horizontal da velocidade permanece
o tempo todo. A componente vertical ao voltar ao solo tem a mesma magnitude que a componente vertical inicial, mas sentido oposto (por simetria), ou seja
. Assim o vetor velocidade no instante do impacto tem componentes
. O módulo é
Portanto o módulo da velocidade ao bater é igual à velocidade inicial. Numericamente:
Essa conclusão também pode ser obtida por conservação de energia: altura inicial e final são iguais, então a energia cinética final tem o mesmo valor da inicial.
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
b)
c)
d)
e)