Um jogador de futebol lança uma bola segundo um ângulo de 36^{\circ} com a horizontal e velocidade escalar de 15,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Considerando que a bola se move em um plano vertical, encontre:
a) O tempo onde a bola alcança a altura máxima de sua trajetória;
b) O valor de sua altura máxima;
c) Seu alcance;
d) Seu tempo de voo;
e) Sua velocidade quando bate de novo no chão.

Passo 1

O enunciado dá que a bola é lançada com velocidade escalar inicial \,v_0=15,5\\ \mathrm{m/s}\, e ângulo em relação à horizontal \,\theta=36^\circ. A bola se move num plano vertical sob a aceleração da gravidade que tomaremos como \,g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}\,.
Perguntas a responder:
a) tempo em que a bola alcança a altura máxima;
b) valor da altura máxima;
c) alcance horizontal (distância horizontal até cair);
d) tempo total de voo;
e) velocidade (módulo da velocidade) quando bate de novo no chão.
Todas as informações relevantes estão acima. A partir delas vamos decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical e usar as equações do movimento uniformemente acelerado na direção vertical e movimento uniforme na horizontal.

Passo 2

Decompor a velocidade inicial em componentes é o primeiro passo. As fórmulas são:
v_{0x}=v_0\cos\theta
v_{0y}=v_0\sin\theta
Aqui v_{0x} é a componente horizontal (constante, pois não há aceleração horizontal), v_{0y} é a componente vertical inicial (sujeita à aceleração -g), v_0 é a velocidade inicial e \theta o ângulo de lançamento.
Calculando os valores numéricos usando \sin36^\circ\approx 0,5877852523 e \cos36^\circ\approx 0,8090169944:
v_{0x}=15,5\cdot 0,8090169944 \approx 12,540\\ \mathrm{m/s}
v_{0y}=15,5\cdot 0,5877852523 \approx 9,111\\ \mathrm{m/s}
(Estes valores vamos usar nas etapas seguintes. Eu arredondei a 3 casas decimais para ficar prático na prova.)

Passo 3

Tempo até a altura máxima. Raciocínio físico: na direção vertical a velocidade varia como
v_y(t)=v_{0y}-g\,t.
No ponto mais alto a velocidade vertical é zero, isto é v_y(t_{\text{top}})=0. Igualando,
0=v_{0y}-g\,t_{\text{top}} \quad\Rightarrow\quad t_{\text{top}}=\frac{v_{0y}}{g}.
Substituindo o valor de v_{0y}:
t_{\text{top}}=\frac{9,111}{9,8}\approx 0,930\\ \mathrm{s}.
Interpretação: em cerca de 0,93\\ \mathrm{s} a bola chega ao ponto mais alto.

Passo 4

Altura máxima. Podemos usar a equação de conservação de energia ou a equação cinemática vertical sem tempo. Usando cinemática:
v_y^2=v_{0y}^2-2g(y-y_0).
No topo v_y=0 e y_0=0, então
0=v_{0y}^2-2gH \quad\Rightarrow\quad H=\frac{v_{0y}^2}{2g}.
Substituindo v_{0y}:
H=\frac{(9,111)^2}{2\cdot 9,8}\approx \frac{83,004}{19,6}\approx 4,234\\ \mathrm{m}.
Portanto a altura máxima é cerca de 4,23\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Tempo total de voo T. Por simetria do movimento vertical (mesma subida e descida em altura quando o ponto de partida e chegada têm a mesma altitude), o tempo total é duas vezes o tempo até o topo:
T=2\,t_{\text{top}}=\frac{2v_{0y}}{g}.
Com os números:
T=\frac{2\cdot 9,111}{9,8}\approx 1,859\\ \mathrm{s}.
Alcance horizontal R. Movimento horizontal é uniforme com velocidade v_{0x}, logo
R=v_{0x}\,T.
Substituindo:
R\approx 12,540\cdot 1,859\approx 23,311\\ \mathrm{m}.
(Alternativamente poderia usar a fórmula R=\dfrac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}, que dá o mesmo resultado.)

Passo 6

Velocidade quando bate de novo no chão (módulo da velocidade). Explicação física e matemática: sem resistência do ar, a componente horizontal da velocidade permanece v_{0x} o tempo todo. A componente vertical ao voltar ao solo tem a mesma magnitude que a componente vertical inicial, mas sentido oposto (por simetria), ou seja v_y(T)=-v_{0y}. Assim o vetor velocidade no instante do impacto tem componentes (v_{0x},-v_{0y}). O módulo é
v_{\text{impact}}=\sqrt{v_{0x}^2+(-v_{0y})^2}=\sqrt{v_{0x}^2+v_{0y}^2}=\sqrt{v_0^2}=v_0.
Portanto o módulo da velocidade ao bater é igual à velocidade inicial. Numericamente:
v_{\text{impact}}=15,5\\ \mathrm{m/s}.
Essa conclusão também pode ser obtida por conservação de energia: altura inicial e final são iguais, então a energia cinética final tem o mesmo valor da inicial.

Resposta

a) t_{\text{top}}=0,930\\ \mathrm{s}
b) H_{\max}=4,234\\ \mathrm{m}
c) R=23,311\\ \mathrm{m}
d) T_{\text{voo}}=1,859\\ \mathrm{s}
e) v_{\text{impact}}=15,5\\ \mathrm{m/s}

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