Uma partícula se move em um plano x y de tal forma que suas coordenadas x e y variam de acordo com a função x(t)=t^{3}-32 t e y(t)=5 t^{2}+12. Aqui, x e y estão expressos em metros e t em segundos. Ache o vetor posição, vetor velocidade e vetor aceleração da partícula quando t=5 s.

Passo 1

O enunciado fornece as coordenadas da partícula em função do tempo e pede três coisas quando t=5\\ \text{s}:
  • Funções dadas (com unidades): x(t)=t^{3}-32\,t\quad\text{(metros)}
y(t)=5\,t^{2}+12\quad\text{(metros)}
e t em segundos.
  • Perguntas pedidas:
    1. O vetor posição da partícula em t=5\\ \text{s}.
    2. O vetor velocidade da partícula em t=5\\ \text{s}.
    3. O vetor aceleração da partícula em t=5\\ \text{s}.
Essas são as informações relevantes que usaremos; nada mais é pedido.

Passo 2

Definimos o vetor posição no plano xy como o vetor cujas componentes são as coordenadas x(t) e y(t). Em notação vetorial:
\mathbf{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle.
Isto significa que, para encontrar a posição num tempo específico, calculamos x(t) e y(t) e os colocamos como as componentes do vetor.

Passo 3

Agora calculamos as componentes da posição em t=5\\ \text{s}. Primeiro x(5):
x(5)=5^{3}-32\cdot 5.
Usando as potências e a multiplicação:
5^{3}=125,\qquad 32\cdot 5=160,
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x(5)=125-160=-35\\ \text{m}.
Agora y(5):
y(5)=5\cdot 5^{2}+12.
Como 5^{2}=25, temos
y(5)=5\cdot 25+12=125+12=137\\ \text{m}.
Assim, as componentes da posição são x(5)=-35\\ \text{m} e y(5)=137\\ \text{m}.

Passo 4

A velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Em notação:
\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle.
Lembrete rápido de como derivar polinômios (regra da potência): para t^{n},
\frac{d}{dt}t^{n}=n\,t^{n-1}.
E a derivada de uma constante multiplicada é a constante vezes a derivada. Vamos aplicar isso às componentes.

Passo 5

Derivando x(t)=t^{3}-32t:
x'(t)=\frac{d}{dt}(t^{3})-\frac{d}{dt}(32t)=3t^{2}-32.
Derivando y(t)=5t^{2}+12:
y'(t)=\frac{d}{dt}(5t^{2})+\frac{d}{dt}(12)=10t+0=10t.
Agora avaliamos em t=5. Para x'(5):
x'(5)=3\cdot 5^{2}-32=3\cdot 25-32=75-32=43\\ \text{m/s}.
Para y'(5):
y'(5)=10\cdot 5=50\\ \text{m/s}.
Portanto, as componentes da velocidade em t=5 são 43\\ \text{m/s} e 50\\ \text{m/s}.

Passo 6

A aceleração é a derivada da velocidade (ou a segunda derivada da posição):
\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle.
Vamos derivar as expressões que já obtivemos para x'(t) e y'(t).

Passo 7

Derivando x'(t)=3t^{2}-32:
x''(t)=\frac{d}{dt}(3t^{2})-\frac{d}{dt}(32)=6t-0=6t.
Derivando y'(t)=10t:
y''(t)=\frac{d}{dt}(10t)=10.
Agora avaliamos em t=5. Para x''(5):
x''(5)=6\cdot 5=30\\ \text{m/s}^{2}.
Para y''(5):
y''(5)=10\\ \text{m/s}^{2}.
Logo, as componentes da aceleração em t=5 são 30\\ \text{m/s}^{2} e 10\\ \text{m/s}^{2}.

Passo 8

Recapitulando de maneira prática (sem repetir ainda na seção final): calculamos as componentes da posição, velocidade e aceleração em t=5 aplicando as regras básicas de derivação (regra da potência e fator constante) e avaliando os polinômios em t=5. Dá para fazer isso bem rápido na prova: primeiro calcule x(5) e y(5); depois derive cada componente e avalie em t=5 para obter velocidade; derive de novo para obter aceleração. Você tá indo bem — só seguir os passos que já fizemos.

Resposta

\mathbf{r}(5)=\langle -35,\;137\rangle\\ \text{m}
\mathbf{v}(5)=\langle 43,\;50\rangle\\ \text{m/s}
\mathbf{a}(5)=\langle 30,\;10\rangle\\ \text{m/s}^{2}

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