Uma partícula se move em um plano
de tal forma que suas coordenadas
e
variam de acordo com a função
e
. Aqui,
e
estão expressos em metros e
em segundos. Ache o vetor posição, vetor velocidade e vetor aceleração da partícula quando
.
Passo 1
O enunciado fornece as coordenadas da partícula em função do tempo e pede três coisas quando
:
- Funções dadas (com unidades):
e
em segundos.
- Perguntas pedidas:
- O vetor posição da partícula em
. - O vetor velocidade da partícula em
. - O vetor aceleração da partícula em
.
- O vetor posição da partícula em
Essas são as informações relevantes que usaremos; nada mais é pedido.
Passo 2
Definimos o vetor posição no plano
como o vetor cujas componentes são as coordenadas
e
. Em notação vetorial:
Isto significa que, para encontrar a posição num tempo específico, calculamos
e
e os colocamos como as componentes do vetor.
Passo 3
Agora calculamos as componentes da posição em
. Primeiro
:
Usando as potências e a multiplicação:
logo
Agora
:
Como
, temos
Assim, as componentes da posição são
e
.
Passo 4
A velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Em notação:
Lembrete rápido de como derivar polinômios (regra da potência): para
,
E a derivada de uma constante multiplicada é a constante vezes a derivada. Vamos aplicar isso às componentes.
Passo 5
Derivando
:
Derivando
:
Agora avaliamos em
. Para
:
Para
:
Portanto, as componentes da velocidade em
são
e
.
Passo 6
A aceleração é a derivada da velocidade (ou a segunda derivada da posição):
Vamos derivar as expressões que já obtivemos para
e
.
Passo 7
Derivando
:
Derivando
:
Agora avaliamos em
. Para
:
Para
:
Logo, as componentes da aceleração em
são
e
.
Passo 8
Recapitulando de maneira prática (sem repetir ainda na seção final): calculamos as componentes da posição, velocidade e aceleração em
aplicando as regras básicas de derivação (regra da potência e fator constante) e avaliando os polinômios em
. Dá para fazer isso bem rápido na prova: primeiro calcule
e
; depois derive cada componente e avalie em
para obter velocidade; derive de novo para obter aceleração. Você tá indo bem — só seguir os passos que já fizemos.