1- a) Um sistema elétrico é formado por um capacitor em série com um resistor. Qual a expressio matemática que define o tempo de carga deste capacitor?
b) Supondo que o capacitor seja de 2000 uF e o resistor e 2 MegaOHM , se ligarmos este sistema em uma fonte de 10 volts quanto tempo e necessário para a voltagem no capacitor atingir 5 voits.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) A expressão matemática que define o tempo de carga do capacitor (ou seja, a constante de tempo do circuito RC).
(b) Com C=2000\\ \mu\text{F}, R=2\\ \text{M}\Omega e uma fonte de V_s=10\\ \text{V}, calcular quanto tempo é necessário para a tensão no capacitor atingir 5\\ \text{V}.
Informações dadas:
C=2000\\ \mu\text{F},\qquad R=2\\ \text{M}\Omega,\qquad V_s=10\\ \text{V},\qquad V_C(t_\text{desejado})=5\\ \text{V}.

Passo 2

Vamos modelar o circuito e escrever a equação que descreve a carga do capacitor. Num circuito série resistor-capacitor alimentado por uma fonte V_s, pela Lei de Kirchhoff das tensões temos
V_s - v_R(t) - v_C(t)=0.
A corrente que atravessa o resistor é a mesma que carrega o capacitor; a relação entre corrente e tensão no capacitor é
i(t)=C\,\frac{dv_C}{dt}.
A queda de tensão no resistor é v_R(t)=R\,i(t)=R\,C\,\frac{dv_C}{dt}. Substituindo na equação de Kirchhoff obtemos a equação diferencial que governa v_C(t):
V_s - R\,C\,\frac{dv_C}{dt} - v_C(t)=0.

Passo 3

Reescrevendo a equação diferencial de forma padrão:
\frac{dv_C}{dt} + \frac{1}{RC}\,v_C(t)=\frac{V_s}{RC}.
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Podemos resolver por separação (ou fator integrante). Uma forma direta e intuitiva é reorganizar para separar variáveis:
\frac{dv_C}{dt}=\frac{1}{RC}\bigl(V_s-v_C(t)\bigr).
Dividindo ambos os lados por V_s-v_C e integrando no tempo desde t=0 até t:
\int_{0}^{v_C(t)}\frac{dv}{V_s-v}=\int_{0}^{t}\frac{dt'}{RC}.
O lado esquerdo integra para -\ln\bigl(V_s - v_C(t)\bigr)+\ln(V_s). Portanto:
-\ln\!\bigl(V_s - v_C(t)\bigr)+\ln(V_s)=\frac{t}{RC}.
Isolando v_C(t) e exponenciando:
\ln\!\left(\frac{V_s}{V_s-v_C(t)}\right)=\frac{t}{RC} \quad\Longrightarrow\quad \frac{V_s}{V_s-v_C(t)}=e^{t/(RC)}.
Resolvendo para v_C(t):
V_s-v_C(t)=V_s e^{-t/(RC)} \quad\Longrightarrow\quad v_C(t)=V_s\bigl(1-e^{-t/(RC)}\bigr).

Passo 4

A constante que aparece no expoente define o tempo característico do circuito, chamado constante de tempo \tau. A expressão matemática que define essa constante é
\tau=R\,C.
Interpretação física rápida: em t=\tau a tensão no capacitor atinge V_s(1-e^{-1})\approx0{,}632\,V_s. Ou seja, \tau é o tempo em que o capacitor alcança cerca de 63{,}2\% do valor final.

Passo 5

Agora resolvemos a parte (b) numericamente. Primeiro convertemos as unidades:
C=2000\\ \mu\text{F}=2000\times10^{-6}\\ \text{F}=2{,}0\times10^{-3}\\ \text{F},
R=2\\ \text{M}\Omega=2\times10^{6}\\ \Omega.
Calculamos a constante de tempo:
\tau=R\,C=(2\times10^{6})(2{,}0\times10^{-3})=4000\\ \text{s}.
Para achar o tempo t em que v_C(t)=5\\ \text{V} usamos a lei de carga:
5=10\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr).
Dividindo por 10:
0{,}5=1-e^{-t/\tau}\quad\Longrightarrow\quad e^{-t/\tau}=0{,}5.
Tomando logaritmo natural:
-\frac{t}{\tau}=\ln(0{,}5) \quad\Longrightarrow\quad t=-\tau\ln(0{,}5)=\tau\ln(2).
Substituindo \tau=4000\\ \text{s}:
t=4000\ln(2)\approx4000\times0{,}693147\approx2772{,}6\\ \text{s}.
Converter para minutos e segundos:
2772{,}6\\ \text{s} \div 60 \approx 46{,}21\\ \text{min} \approx 46\\ \text{min}\\\ 13\\ \text{s}.

Passo 6

Resumo prático e dica de prova: a expressão que você precisa memorizar é \tau=RC e a lei de carga é v_C(t)=V_s\bigl(1-e^{-t/(RC)}\bigr). Para chegar a uma fração do valor final, isolamos o exponencial e usamos logaritmo natural; por exemplo, para metade da tensão final usamos t=\tau\ln(2)\approx0{,}693\,\tau.

Resposta

(a) \tau=R\,C e v_C(t)=V_s\bigl(1-e^{-t/(RC)}\bigr).\n(b) t=4000\ln(2)\approx2772{,}6\\ \text{s}\approx46\\ \text{min}\\\ 13\\ \text{s}.

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