1- a) Um sistema elétrico é formado por um capacitor em série com um resistor. Qual a expressio matemática que define o tempo de carga deste capacitor?
b) Supondo que o capacitor seja de 2000 uF e o resistor e 2 MegaOHM , se ligarmos este sistema em uma fonte de 10 volts quanto tempo e necessário para a voltagem no capacitor atingir 5 voits.
b) Supondo que o capacitor seja de 2000 uF e o resistor e 2 MegaOHM , se ligarmos este sistema em uma fonte de 10 volts quanto tempo e necessário para a voltagem no capacitor atingir 5 voits.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) A expressão matemática que define o tempo de carga do capacitor (ou seja, a constante de tempo do circuito RC).
(b) Com ,
e uma fonte de
, calcular quanto tempo é necessário para a tensão no capacitor atingir
.
(a) A expressão matemática que define o tempo de carga do capacitor (ou seja, a constante de tempo do circuito RC).
(b) Com
Informações dadas:
Passo 2
Vamos modelar o circuito e escrever a equação que descreve a carga do capacitor. Num circuito série resistor-capacitor alimentado por uma fonte
, pela Lei de Kirchhoff das tensões temos
A corrente que atravessa o resistor é a mesma que carrega o capacitor; a relação entre corrente e tensão no capacitor é
A queda de tensão no resistor é
. Substituindo na equação de Kirchhoff obtemos a equação diferencial que governa
:
Passo 3
Reescrevendo a equação diferencial de forma padrão:
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Podemos resolver por separação (ou fator integrante). Uma forma direta e intuitiva é reorganizar para separar variáveis:
Dividindo ambos os lados por
e integrando no tempo desde
até
:
O lado esquerdo integra para
. Portanto:
Isolando
e exponenciando:
Resolvendo para
:
Passo 4
A constante que aparece no expoente define o tempo característico do circuito, chamado constante de tempo
. A expressão matemática que define essa constante é
Interpretação física rápida: em
a tensão no capacitor atinge
. Ou seja,
é o tempo em que o capacitor alcança cerca de
do valor final.
Passo 5
Agora resolvemos a parte (b) numericamente. Primeiro convertemos as unidades:
Calculamos a constante de tempo:
Para achar o tempo
em que
usamos a lei de carga:
Dividindo por
:
Tomando logaritmo natural:
Substituindo
:
Converter para minutos e segundos:
Passo 6
Resumo prático e dica de prova: a expressão que você precisa memorizar é
e a lei de carga é
. Para chegar a uma fração do valor final, isolamos o exponencial e usamos logaritmo natural; por exemplo, para metade da tensão final usamos
.
Resposta
(a)
e
.\n(b)
.