Um jogador de futebol vai cobrar três pênaltis seguidos. Admita que:
i. A probabilidade de ele converter a primeira cobrança é igual a 0,70;
ii. A probabilidade de ele converter a segunda cobrança é igual a:
  • 0,80, se ele tiver convertido a primeira cobrança;
  • 0,60, em caso contrário;
    iii. A probabilidade de ele converter a terceira cobrança é igual a:
  • 0,90 , se ele tiver convertido as duas primeiras;
  • 0,70, se ele tiver convertido apenas uma das duas primeiras;
  • 0,50 , se ele não tiver convertido nenhuma das duas primeiras.
Seja X o número total de gols que o jogador vai fazer. Obtenha a função de probabilidade de Xi

Passo 1

Então, a gente tem um jogador de futebol que vai chutar três pênaltis seguidos. Queremos descobrir a probabilidade de ele marcar 0, 1, 2 ou 3 gols no total. Para isso, vamos usar probabilidades condicionais, já que a chance de ele acertar cada pênalti depende dos resultados anteriores.

Passo 2

Vamos começar pelo primeiro pênalti. A probabilidade de ele converter é 0,70 (ou seja, 70%). Isso significa que:
  • Marca: 70% (0,70)
  • Não marca: 30% (1 - 0,70 = 0,30)

Passo 3

Agora, o segundo pênalti depende do resultado do primeiro:
  • Se marcou o primeiro (prob 0,70), a chance de converter o segundo é 0,80.
  • Se não marcou o primeiro (prob 0,30), a chance de converter o segundo é 0,60.

Passo 4

O terceiro pênalti depende dos dois primeiros:
  • Se marcou os dois primeiros: probabilidade de converter é 0,90.
  • Se marcou apenas um dos dois: probabilidade de converter é 0,70.
  • Se não marcou nenhum dos dois: probabilidade de converter é 0,50.

Passo 5

Vamos listar todas as possíveis combinações de acertos nos três pênaltis e calcular a probabilidade de cada uma. Usaremos S para “Sim, marcou” e N para “Não, não marcou”.
  1. S, S, S: Marca os três.
  2. S, S, N: Marca os dois primeiros, erra o terceiro.
  3. S, N, S: Marca o primeiro e o terceiro, erra o segundo.
  4. S, N, N: Marca somente o primeiro.
  5. N, S, S: Erra o primeiro, marca os dois últimos.
  6. N, S, N: Erra o primeiro e o terceiro, marca o segundo.
  7. N, N, S: Só marca o terceiro.
  8. N, N, N: Não marca nenhum.

Passo 6

Vamos calcular a probabilidade de cada combinação:
  1. S, S, S: 0,70 times 0,80 times 0,90 = 0,504
  2. S, S, N: 0,70 times 0,80 times 0,10 = 0,056
  3. S, N, S: 0,70 times 0,20 times 0,70 = 0,098
  4. S, N, N: 0,70 times 0,20 times 0,30 = 0,042
  5. N, S, S: 0,30 times 0,60 times 0,70 = 0,126
  6. N, S, N: 0,30 times 0,60 times 0,30 = 0,054
  7. N, N, S: 0,30 times 0,40 times 0,50 = 0,06
  8. N, N, N: 0,30 times 0,40 times 0,50 = 0,06

Passo 7

Agora, vamos agrupar essas probabilidades de acordo com o número total de gols (X):
  • X = 0: Apenas a combinação N, N, N. P(X=0) = 0,06
  • X = 1: Combinações S, S, N, S, N, N, N, S, N e N, N, S. P(X=1) = 0,056 + 0,042 + 0,054 + 0,06 = 0,212
  • X = 2: Combinações S, N, S e N, S, S. P(X=2) = 0,098 + 0,126 = 0,224
  • X = 3: Apenas a combinação S, S, S. P(X=3) = 0,504

Resposta

A função de probabilidade de $ X $ é:
X

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