Um jogador de futebol vai cobrar três pênaltis seguidos. Admita que:
i. A probabilidade de ele converter a primeira cobrança é igual a 0,70;
ii. A probabilidade de ele converter a segunda cobrança é igual a:
- 0,80, se ele tiver convertido a primeira cobrança;
- 0,60, em caso contrário;
iii. A probabilidade de ele converter a terceira cobrança é igual a:
- 0,90 , se ele tiver convertido as duas primeiras;
- 0,70, se ele tiver convertido apenas uma das duas primeiras;
- 0,50 , se ele não tiver convertido nenhuma das duas primeiras.
Seja X o número total de gols que o jogador vai fazer. Obtenha a função de probabilidade de
i. A probabilidade de ele converter a primeira cobrança é igual a 0,70;
ii. A probabilidade de ele converter a segunda cobrança é igual a:
iii. A probabilidade de ele converter a terceira cobrança é igual a:
Passo 1
Então, a gente tem um jogador de futebol que vai chutar três pênaltis seguidos. Queremos descobrir a probabilidade de ele marcar 0, 1, 2 ou 3 gols no total. Para isso, vamos usar probabilidades condicionais, já que a chance de ele acertar cada pênalti depende dos resultados anteriores.
Passo 2
Vamos começar pelo primeiro pênalti. A probabilidade de ele converter é 0,70 (ou seja, 70%). Isso significa que:
- Marca: 70% (0,70)
- Não marca: 30% (1 - 0,70 = 0,30)
Passo 3
Agora, o segundo pênalti depende do resultado do primeiro:
- Se marcou o primeiro (prob 0,70), a chance de converter o segundo é 0,80.
- Se não marcou o primeiro (prob 0,30), a chance de converter o segundo é 0,60.
Passo 4
O terceiro pênalti depende dos dois primeiros:
- Se marcou os dois primeiros: probabilidade de converter é 0,90.
- Se marcou apenas um dos dois: probabilidade de converter é 0,70.
- Se não marcou nenhum dos dois: probabilidade de converter é 0,50.
Passo 5
Vamos listar todas as possíveis combinações de acertos nos três pênaltis e calcular a probabilidade de cada uma. Usaremos S para “Sim, marcou” e N para “Não, não marcou”.
- S, S, S: Marca os três.
- S, S, N: Marca os dois primeiros, erra o terceiro.
- S, N, S: Marca o primeiro e o terceiro, erra o segundo.
- S, N, N: Marca somente o primeiro.
- N, S, S: Erra o primeiro, marca os dois últimos.
- N, S, N: Erra o primeiro e o terceiro, marca o segundo.
- N, N, S: Só marca o terceiro.
- N, N, N: Não marca nenhum.
Passo 6
Vamos calcular a probabilidade de cada combinação:
- S, S, S:
- S, S, N:
- S, N, S:
- S, N, N:
- N, S, S:
- N, S, N:
- N, N, S:
- N, N, N:
Passo 7
Agora, vamos agrupar essas probabilidades de acordo com o número total de gols (X):
- X = 0: Apenas a combinação N, N, N.
- X = 1: Combinações S, S, N, S, N, N, N, S, N e N, N, S.
- X = 2: Combinações S, N, S e N, S, S.
- X = 3: Apenas a combinação S, S, S.
Resposta
A função de probabilidade de $ X $ é: