Seja X1, X2, ldots Xn uma amostra i.i.d. de uma Poisson (theta).
Obtenha o limite inferior de Cramér-Rao no que toca à estimação de theta.

Passo 1

Então, a questão diz: temos uma amostra i.i.d. Var(hattheta);>=;1I(theta) de uma Poisson com parâmetro . A meta é encontrar o limite inferior de Cramér–Rao (CRLB) pra estimar .
Conteúdo envolvido: teoria de estimação de parâmetros, log‐verossimilhança, score function e informação de Fisher. Vamos precisar
  • da função de massa de probabilidade da Poisson;
  • da log‐verossimilhança conjunta;
  • das derivadas (score e segunda derivada);
  • da definição de informação de Fisher e da fórmula do CRLB, que diz

Passo 2

Escrevendo a verossimilhança conjunta e a log‐verossimilhança:
Para cada P(Xi = xi) = e^-theta,theta^xixi! ,
L(theta) =prodi=1^n e^-theta,theta^xixi! =e^-ntheta,theta^sum xiprod xi!
Como são independentes, a verossimilhança total é
ell(theta) =log L(theta) =-ntheta + l(sumi=1^n xir)logtheta ;-;sumi=1^nlog(xi!)
A log‐verossimilhança é

Passo 3

Calculando a score function (derivada de ell'(theta) =ddthetal[-ntheta + (sum xi)logthetal] =-n + sumi=1^n xitheta ):

Passo 4

Agora a informação de Fisher, I(theta) = -,El[ell''(theta)r] . A definição é
ell''(theta) =ddthetal(-n + sum xithetar) =-sumi=1^n xitheta^2
Primeiro a segunda derivada:
E[ell''(theta)] =-nthetatheta^2 =-ntheta
Tomando expectativa sabendo que I(theta) =-,E[ell''(theta)] =ntheta :
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Passo 5

Finalmente, pelo limite de Cramér–Rao, qualquer estimador não‐tendencioso Var(hattheta);>=;1I(theta) =1,n/theta, =thetan satisfaz

Resposta

O limite inferior de Cramér–Rao para estimar boxedthetan é

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