Seja
uma amostra i.i.d. de uma Poisson
.
Obtenha o limite inferior de Cramér-Rao no que toca à estimação de
.
Obtenha o limite inferior de Cramér-Rao no que toca à estimação de
Passo 1
Então, a questão diz: temos uma amostra i.i.d.
de uma Poisson com parâmetro
. A meta é encontrar o limite inferior de Cramér–Rao (CRLB) pra estimar
.
Conteúdo envolvido: teoria de estimação de parâmetros, log‐verossimilhança, score function e informação de Fisher. Vamos precisar
Conteúdo envolvido: teoria de estimação de parâmetros, log‐verossimilhança, score function e informação de Fisher. Vamos precisar
- da função de massa de probabilidade da Poisson;
- da log‐verossimilhança conjunta;
- das derivadas (score e segunda derivada);
- da definição de informação de Fisher e da fórmula do CRLB, que diz
Passo 2
Escrevendo a verossimilhança conjunta e a log‐verossimilhança:
Para cada ,
Para cada
Como são independentes, a verossimilhança total é
A log‐verossimilhança é
Passo 3
Calculando a score function (derivada de
):
Passo 4
Agora a informação de Fisher,
. A definição é
Primeiro a segunda derivada:
Tomando expectativa sabendo que
:
Logo
Passo 5
Finalmente, pelo limite de Cramér–Rao, qualquer estimador não‐tendencioso
satisfaz
Resposta
O limite inferior de Cramér–Rao para estimar
é