7- Um jogador de golfe dá três tacadas para colocar a bola em um buraco. A primeira tacada desloca a bola 6 m para Norte, a segunda desloca a bola 2 m para Leste e a terceira desloca a bola 2 m para Nordeste. Determine a expressão vetorial, o módulo e a direção do vetor deslocamento resultante da bola.

Passo 1

O enunciado dá três deslocamentos da bola e pede três coisas sobre o deslocamento resultante: expressão vetorial, módulo e direção. Dados (valores extraídos do enunciado):
  • Primeira tacada: deslocamento de 6\\ \text{m} para Norte.
  • Segunda tacada: deslocamento de 2\\ \text{m} para Leste.
  • Terceira tacada: deslocamento de 2\\ \text{m} para Nordeste (isto é, exatamente no meio entre Norte e Leste).
O que é pedido:
  • A expressão vetorial do deslocamento resultante \vec{R}.
  • O módulo \|\vec{R}\|.
  • A direção de \vec{R} (ângulo que o vetor forma com um eixo de referência).

Passo 2

Escolher um sistema de coordenadas e explicar a convenção (isto facilita na prova):
  • Tomo o eixo x apontando para Leste e o eixo y apontando para Norte.
  • Uso os vetores unitários \hat{\imath} (direção Leste) e \hat{\jmath} (direção Norte).
    Assim cada deslocamento será escrito pelas componentes (x,y) na base \{\hat{\imath},\hat{\jmath}\}.

Passo 3

Converter cada tacada em componentes (explicando como):
  • Tacada 1: 6\\ \text{m} para Norte significa nenhuma componente em x e 6 em y. Logo
\vec{d}_1 = 0\,\hat{\imath} + 6\,\hat{\jmath}.
  • Tacada 2: 2\\ \text{m} para Leste significa 2 em x e 0 em y. Logo
\vec{d}_2 = 2\,\hat{\imath} + 0\,\hat{\jmath}.
  • Tacada 3: 2\\ \text{m} para Nordeste. Nordeste é exatamente a direção a 45^\circ entre Leste e Norte, então as componentes são:
\vec{d}_3 = 2\cos 45^\circ\,\hat{\imath} + 2\sin 45^\circ\,\hat{\jmath}.
Explicando \cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}. Multiplicando:
2\cos 45^\circ = 2\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}, \qquad 2\sin 45^\circ=\sqrt{2}.
Portanto
\vec{d}_3 = \sqrt{2}\,\hat{\imath} + \sqrt{2}\,\hat{\jmath}.

Passo 4

Somar as componentes para obter o deslocamento resultante (explicar adição vetorial por componentes):
A soma componente a componente dá
\vec{R}=\vec{d}_1+\vec{d}_2+\vec{d}_3 = (0+2+\sqrt{2})\,\hat{\imath} + (6+0+\sqrt{2})\,\hat{\jmath}.
Simplificando,
\vec{R}=(2+\sqrt{2})\,\hat{\imath}+(6+\sqrt{2})\,\hat{\jmath}.
Para referência numérica, usando \sqrt{2}\approx1{,}41421356:
\vec{R}\approx 3{,}414\,\hat{\imath}+7{,}414\,\hat{\jmath}\quad(\text{m}).

Passo 5

Calcular o módulo \|\vec{R}\| (relembrando a fórmula e mostrando os passos algébricos):
Fórmula do módulo de um vetor em componentes: \|\vec{R}\|=\sqrt{R_x^2+R_y^2}, onde R_x e R_y são as componentes em x e y.
Aqui R_x=2+\sqrt{2} e R_y=6+\sqrt{2}. Então
\|\vec{R}\|=\sqrt{(2+\sqrt{2})^2+(6+\sqrt{2})^2}.
Expandindo os quadrados passo a passo:
(2+\sqrt{2})^2 = 4+4\sqrt{2}+2 = 6+4\sqrt{2},
(6+\sqrt{2})^2 = 36+12\sqrt{2}+2 = 38+12\sqrt{2}.
Somando:
(2+\sqrt{2})^2+(6+\sqrt{2})^2 = (6+4\sqrt{2})+(38+12\sqrt{2}) = 44+16\sqrt{2}.
Portanto
\|\vec{R}\|=\sqrt{44+16\sqrt{2}}.
Valor numérico:
\|\vec{R}\|\approx 8{,}165\\ \text{m}.

Passo 6

Calcular a direção do vetor resultante (explicando o uso de \arctan):
  • Ângulo \theta medido a partir do eixo x (Leste) no sentido anti-horário (ou seja, “Norte de Leste”) é dado por
\theta=\arctan\!\left(\dfrac{R_y}{R_x}\right)=\arctan\!\left(\dfrac{6+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}\right).
  • Substituindo numericamente:
\theta\approx \arctan(2{,}171572875)\approx 65{,}4^\circ.
Interpretação em linguagem de prova: o vetor resultante faz um ângulo de aproximadamente \,65{,}4^\circ\, acima do eixo Leste, isto é, 65{,}4^\circ Norte de Leste. Equivalentemente, medido a partir do Norte em direção ao Leste, o ângulo é 90^\circ-65{,}4^\circ=24{,}6^\circ, ou seja, 24{,}6^\circ Leste de Norte.

Passo 7

Resumo rápido e incentivo: está feito — definimos sistema, decomposmos os vetores, somamos as componentes, calculamos módulo e direção. Se quiser, posso também desenhar o esquema vetorial ou mostrar como obter os mesmos números com calculadora passo a passo. Força aí, você tá indo muito bem!

Resposta

\vec{R}=(2+\sqrt{2})\,\hat{\imath}+(6+\sqrt{2})\,\hat{\jmath}\\ \text{m}
\|\vec{R}\|=\sqrt{44+16\sqrt{2}}\\ \text{m}\approx 8{,}165\\ \text{m}
Direção: \theta=\arctan\!\left(\dfrac{6+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}\right)\approx 65{,}4^\circ (Norte de Leste)

Exercícios relacionados