Um jogador lança dois dados. Se a soma dos dados for igual a 2, 3 ou 12 o jogador perde; se a soma for igual a 7 ou 11 ele vence. Para qualquer resultado diferente, o jogador continua a lançar os dados até que o resultado inicial saia novamente ou que saia um 7. Se o 7 aparecer primeiro o jogador perde, caso contrário o jogador vence. Calcule a probabilidade do jogador vencer
Sugestão: Suponha que En represente o evento em que a saída inicial é n e o jogador vence. A resposta é sumn=1^12 P(En).

Passo 1

Então, o problema é o clássico jogo de “craps” com dois dados. O conteúdo aqui é probabilidade condicional e a Lei da Probabilidade Total.
O que vamos precisar:
  1. Saber as probabilidades de cada soma de dois dados (de 2 a 12).
  2. Aplicar a divisão em “ganho imediato” e “perda imediata”.
  3. Para os outros resultados (4,5,6,8,9,10), usar probabilidade condicional: dado que saiu o ponto n, a chance de você ganhar é a de tirar n antes de tirar 7.
  4. Somar tudo usando a Lei da Probabilidade Total.

Passo 2

Calcular as probabilidades dos eventos imediatos:
  • Soma 2, 3 ou 12 → perda imediata.
  • Soma 7 ou 11 → vitória imediata.
As probabilidades de cada soma são:
P(2)=tfrac136,; P(3)=tfrac236,; P(7)=tfrac636,; P(11)=tfrac236,; P(12)=tfrac136
Então:
  • Perda imediata: P(2,3 ou 12)=tfrac1+2+136=tfrac436
    - Vitória imediata:
    P(7 ou 11)=tfrac6+236=tfrac836

Passo 3

Agora vêm os “pontos” nin4,5,6,8,9,10.
  1. Primeiro, a probabilidade de sair n no lançamento inicial: P(n).
  2. Dado que saiu n, a gente vai continuar lançando até sair n (ganha) ou 7 (perde). Isso é um processo “geométrico” com dois resultados que nos interessam: P(ganhar dado ponto n)= P(n)P(n)+P(7)
Listemos P(n) e calculemos cada chance condicional:
  • Para n=4: P(4)=3/36. Então P(ganhar|4)=3/363/36+6/36=33+6=13
    - Para n=10: igual a 4, pois P(10)=3/36, logo 1/3.
    - Para n=5: P(5)=4/36,
    P(ganhar|5)=4/364/36+6/36=44+6=25
  • Para n=9: mesmo de 5, 2/5.
  • Para n=6: P(6)=5/36, P(ganhar|6)=5/365/36+6/36=511
    - Para n=8: mesmo de 6, 5/11.
Agora aplicamos a probabilidade total só sobre esses pontos:
sumnin4,5,6,8,9,10P(n)cdot P(ganhar|n)

Passo 4

Vamos calcular cada termo e depois somar tudo, incluindo a vitória imediata de 8/36:
  1. Para n=4 e n=10: cada um dá
    336times13=136,
    totalizando tfrac236.
  2. Para n=5 e n=9: cada um dá
    436times25=8180=245,
    totalizando tfrac445.
  3. Para n=6 e n=8: cada um dá
    536times511=25396,
    totalizando tfrac50396=tfrac25198.
Somando esses pontos:
236+445+25198 =134495
Agora soma com a vitória imediata 8/36=tfrac836=tfrac4401980=tfrac244990=tfrac244495times12
Mas podemos converter direitinho e verificar que dá:
P(win)=836+134495=244495approx0,4929

Resposta

A probabilidade de o jogador vencer é
boxed244495approx0,4929;(49,29%)

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