Um jogador lança dois dados. Se a soma dos dados for igual a 2, 3 ou 12 o jogador perde; se a soma for igual a 7 ou 11 ele vence. Para qualquer resultado diferente, o jogador continua a lançar os dados até que o resultado inicial saia novamente ou que saia um 7. Se o 7 aparecer primeiro o jogador perde, caso contrário o jogador vence. Calcule a probabilidade do jogador vencer
Sugestão: Suponha que
represente o evento em que a saída inicial é
e o jogador vence. A resposta é
.
Sugestão: Suponha que
Passo 1
Então, o problema é o clássico jogo de “craps” com dois dados. O conteúdo aqui é probabilidade condicional e a Lei da Probabilidade Total.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Saber as probabilidades de cada soma de dois dados (de 2 a 12).
- Aplicar a divisão em “ganho imediato” e “perda imediata”.
- Para os outros resultados (4,5,6,8,9,10), usar probabilidade condicional: dado que saiu o ponto
, a chance de você ganhar é a de tirar antes de tirar 7. - Somar tudo usando a Lei da Probabilidade Total.
Passo 2
Calcular as probabilidades dos eventos imediatos:
- Soma 2, 3 ou 12 → perda imediata.
- Soma 7 ou 11 → vitória imediata.
As probabilidades de cada soma são:
Então:
- Perda imediata:
- Vitória imediata:
Passo 3
Agora vêm os “pontos”
.
- Primeiro, a probabilidade de sair
no lançamento inicial: . - Dado que saiu
, a gente vai continuar lançando até sair (ganha) ou 7 (perde). Isso é um processo “geométrico” com dois resultados que nos interessam:
Listemos
e calculemos cada chance condicional:
- Para
: . Então
- Para: igual a 4, pois , logo .
- Para: ,
- Para
: mesmo de 5, . - Para
: ,
- Para: mesmo de 6, .
Agora aplicamos a probabilidade total só sobre esses pontos:
Passo 4
Vamos calcular cada termo e depois somar tudo, incluindo a vitória imediata de
:
-
Para
e : cada um dá
totalizando. -
Para
e : cada um dá
totalizando. -
Para
e : cada um dá
totalizando.
Somando esses pontos:
Agora soma com a vitória imediata
…
Mas podemos converter direitinho e verificar que dá:
Mas podemos converter direitinho e verificar que dá:
Resposta
A probabilidade de o jogador vencer é