Jogando-se um dado três vezes, determine a probabilidade de se obter um múltiplo de 3 duas vezes. Posteriormente, calcule a média, variância e desvio padrão.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: a gente vai jogar um dado justo 3 vezes, quer saber a probabilidade de sair um múltiplo de 3 exatamente 2 vezes e, em seguida, calcular a média, a variância e o desvio padrão dessa “contagem” de múltiplos de 3.
Conteúdo da matéria: probabilidade (modelo binomial) e estatística básica (definições de média, variância e desvio padrão).
O que vamos precisar:
  1. identificar a probabilidade de sucesso num único lançamento (sucesso = sair 3 ou 6);
  2. usar a fórmula da distribuição binomial para P(X=k);
  3. usar as fórmulas E[X]=np, Var(X)=np(1−p) e σ=√Var(X).

Passo 2

Primeiro, qual é a probabilidade de “sucesso” num único lançamento?
– Sucesso = sair um múltiplo de 3 → faces {3,6}, são 2 resultados em 6 possíveis.
Logo
p = 26 = tfrac13, 1-p = 23

Passo 3

Agora, queremos exatamente 2 sucessos em 3 lançamentos. Pelo modelo binomial:
P(X=2) = binom32,p^2,(1-p)^1 = binom32l(tfrac13r)^2l(tfrac23r) = 3 cdot 19 cdot 23 = 627 = 29

Passo 4

Média (valor esperado) da distribuição binomial X~Bin(n=3,p=1/3):
E[X] = n,p = 3 cdot tfrac13 = 1

Passo 5

Variância da binomial:
Var(X) = n,p,(1-p) = 3 cdot tfrac13 cdot tfrac23 = tfrac23

Passo 6

Desvio padrão é a raiz da variância:
sigma = raizVar(X) = raiztfrac23 = raiz63 ;approx; 0,8165

Resposta

Probabilidade de obter um múltiplo de 3 exatamente duas vezes: .
Média: .
Variância: .
Desvio padrão: .

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