Jogando-se um dado três vezes, determine a probabilidade de se obter um múltiplo de 3 duas vezes. Posteriormente, calcule a média, variância e desvio padrão.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: a gente vai jogar um dado justo 3 vezes, quer saber a probabilidade de sair um múltiplo de 3 exatamente 2 vezes e, em seguida, calcular a média, a variância e o desvio padrão dessa “contagem” de múltiplos de 3.
Conteúdo da matéria: probabilidade (modelo binomial) e estatística básica (definições de média, variância e desvio padrão).
O que vamos precisar:
Conteúdo da matéria: probabilidade (modelo binomial) e estatística básica (definições de média, variância e desvio padrão).
O que vamos precisar:
- identificar a probabilidade de sucesso num único lançamento (sucesso = sair 3 ou 6);
- usar a fórmula da distribuição binomial para P(X=k);
- usar as fórmulas E[X]=np, Var(X)=np(1−p) e σ=√Var(X).
Passo 2
Primeiro, qual é a probabilidade de “sucesso” num único lançamento?
– Sucesso = sair um múltiplo de 3 → faces {3,6}, são 2 resultados em 6 possíveis.
Logo
– Sucesso = sair um múltiplo de 3 → faces {3,6}, são 2 resultados em 6 possíveis.
Logo
Passo 3
Agora, queremos exatamente 2 sucessos em 3 lançamentos. Pelo modelo binomial:
Passo 4
Média (valor esperado) da distribuição binomial X~Bin(n=3,p=1/3):
Passo 5
Variância da binomial:
Passo 6
Desvio padrão é a raiz da variância:
Resposta
Probabilidade de obter um múltiplo de 3 exatamente duas vezes:
.
Média: .
Variância: .
Desvio padrão: .
Média:
Variância:
Desvio padrão: