Ao jogar uma moeda 3 vezes, qual a probabilidade de sair:
Exatamente duas caras.
Exatamente duas caras.
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de, ao lançar uma moeda
vezes, sair exatamente duas caras.
Informações dadas e suposições padrão:
Informações dadas e suposições padrão:
- São realizados
lançamentos independentes da moeda. - Assume-se uma moeda justa (probabilidade de cara em cada lançamento é
).
A pergunta é única: “Qual a probabilidade de obter exatamente duas caras emlançamentos?”
Passo 2
Entendendo o espaço amostral (todos os resultados possíveis).
Cada lançamento tem dois resultados possíveis: cara ( ) ou coroa (
). Em
lançamentos, o número total de sequências possíveis é
Cada lançamento tem dois resultados possíveis: cara (
Essas
sequências (todas igualmente prováveis para moeda justa) são:
Passo 3
Identificando os eventos favoráveis (sequências com exatamente duas caras).
Procuramos as sequências entre as listadas que têm exatamente duas ocorrências de . Elas são:
Procuramos as sequências entre as listadas que têm exatamente duas ocorrências de
Ou seja, há exatamente
resultados favoráveis.
Passo 4
Método por contagem (definição clássica de probabilidade).
A probabilidade clássica é dada por:
A probabilidade clássica é dada por:
Este é um cálculo direto e suficiente.
Passo 5
Método alternativo (fórmula binomial) — explicar a fórmula e aplicar.
Quando temos ensaios independentes com probabilidade
de sucesso em cada um, a probabilidade de obter exatamente
sucessos é
Quando temos
onde
é o número de maneiras de escolher quais
ensaios surtiram sucesso. Aqui:
-
(três lançamentos), -
(duas caras), -
(probabilidade de cara em cada lançamento).
Calculando
usando fatoriais:
Aplicando na fórmula:
Isso dá o mesmo resultado obtido pela contagem direta. Em decimal,
.
Passo 6
Resumo intuitivo (para lembrar na prova).
- Conte quantas sequências de
lançamentos têm exatamente duas caras: são . - Divida por
(total de sequências). - Resposta:
(ou ).