- Um livro de 800 páginas com 800 erros. Qual a probabilidade? a) Uma dada página não possui erros.
b) Uma página com um erro. c) Uma página com 5 erros.
b) Uma página com um erro. c) Uma página com 5 erros.
Passo 1
O enunciado dá estas informações:
- O livro tem
páginas. - Há
erros no total, distribuídos no livro.
O que se pede:
a) A probabilidade de uma dada página não possuir erros.
b) A probabilidade de uma dada página ter exatamente um erro.
c) A probabilidade de uma dada página ter exatamente cinco erros.
Passo 2
Modelo probabilístico e notação (explicando devagar como pensar nisso).
Imagine que cada um dos erros “cai” em uma página escolhida ao acaso, com igual chance para cada página, e que a escolha de página para cada erro é independente das outras escolhas. Fixe uma página qualquer e chame a essa variável aleatória de
: o número de erros nessa página.
Cada erro tem probabilidade de cair nessa página. Como há
erros independentes,
tem distribuição binomial
Imagine que cada um dos
Cada erro tem probabilidade
A fórmula da probabilidade binomial é:
onde
é o número de escolhas de quais
erros caem naquela página.
Passo 3
Simplificação e aproximação útil (por que e como usar).
Note que é grande (
) e
é pequeno (
), e o produto
Note que
Nessas condições a distribuição binomial é bem aproximada pela distribuição de Poisson com parâmetro
. A vantagem é que a fórmula do Poisson é muito mais simples e dá resultados numéricos fáceis à mão. A fórmula do Poisson é
com
. Essa aproximação é muito boa aqui porque
é grande e
é pequeno (regra prática).
Também vale registrar as expressões binomiais exatas para cada caso, caso queira precisão maior:
Passo 4
Calcular
(uma dada página não possui erros).
Usando a aproximação de Poisson com :
Usando a aproximação de Poisson com
Sabendo que
, temos
(Se quiser a expressão exata da binomial:
, que é numericamente muito próxima desse valor.)
Passo 5
Calcular
(uma dada página tem exatamente um erro).
Usando Poisson com :
Usando Poisson com
Portanto
(Observação: a expressão binomial exata é
, numericamente muito próxima — um pouquinho maior que
, mas a diferença é mínima.)
Passo 6
Calcular
(uma dada página tem exatamente cinco erros).
Usando Poisson com :
Usando Poisson com
Como
, então
Arredondando, podemos dar
.
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)