1. Um livro de 800 páginas com 800 erros. Qual a probabilidade? a) Uma dada página não possui erros.
    b) Uma página com um erro. c) Uma página com 5 erros.

Passo 1

O enunciado dá estas informações:
  • O livro tem 800 páginas.
  • 800 erros no total, distribuídos no livro.
    O que se pede:
    a) A probabilidade de uma dada página não possuir erros.
    b) A probabilidade de uma dada página ter exatamente um erro.
    c) A probabilidade de uma dada página ter exatamente cinco erros.

Passo 2

Modelo probabilístico e notação (explicando devagar como pensar nisso).
Imagine que cada um dos 800 erros “cai” em uma página escolhida ao acaso, com igual chance para cada página, e que a escolha de página para cada erro é independente das outras escolhas. Fixe uma página qualquer e chame a essa variável aleatória de X: o número de erros nessa página.
Cada erro tem probabilidade p=\dfrac{1}{800} de cair nessa página. Como há n=800 erros independentes, X tem distribuição binomial
X \sim \mathrm{Bin}\bigl(n=800,\;p=\tfrac{1}{800}\bigr).
A fórmula da probabilidade binomial é:
\mathbb{P}(X=k)=\binom{800}{k}\left(\tfrac{1}{800}\right)^{k}\left(1-\tfrac{1}{800}\right)^{800-k},
onde \binom{800}{k} é o número de escolhas de quais k erros caem naquela página.

Passo 3

Simplificação e aproximação útil (por que e como usar).
Note que n é grande ( 800) e p é pequeno ( 1/800), e o produto
\lambda = n p = 800\cdot \tfrac{1}{800}=1.
Nessas condições a distribuição binomial é bem aproximada pela distribuição de Poisson com parâmetro \lambda. A vantagem é que a fórmula do Poisson é muito mais simples e dá resultados numéricos fáceis à mão. A fórmula do Poisson é
\mathbb{P}(X=k)\approx e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},
com \lambda=1. Essa aproximação é muito boa aqui porque n é grande e p é pequeno (regra prática).
Também vale registrar as expressões binomiais exatas para cada caso, caso queira precisão maior:
\mathbb{P}(X=0)=\left(1-\tfrac{1}{800}\right)^{800}, \qquad \mathbb{P}(X=1)=800\cdot\tfrac{1}{800}\left(1-\tfrac{1}{800}\right)^{799},
\mathbb{P}(X=5)=\binom{800}{5}\left(\tfrac{1}{800}\right)^{5}\left(1-\tfrac{1}{800}\right)^{795}.

Passo 4

Calcular \mathbb{P}(X=0) (uma dada página não possui erros).
Usando a aproximação de Poisson com \lambda=1:
\mathbb{P}(X=0)\approx e^{-1}\frac{1^{0}}{0!}=e^{-1}.
Sabendo que e^{-1}\approx 0,3678794412, temos
\mathbb{P}(X=0)\approx 0,3679.
(Se quiser a expressão exata da binomial: \bigl(1-\tfrac{1}{800}\bigr)^{800}, que é numericamente muito próxima desse valor.)

Passo 5

Calcular \mathbb{P}(X=1) (uma dada página tem exatamente um erro).
Usando Poisson com \lambda=1:
\mathbb{P}(X=1)\approx e^{-1}\frac{1^{1}}{1!}=e^{-1}.
Portanto
\mathbb{P}(X=1)\approx 0,3679.
(Observação: a expressão binomial exata é \bigl(1-\tfrac{1}{800}\bigr)^{799}, numericamente muito próxima — um pouquinho maior que e^{-1}, mas a diferença é mínima.)

Passo 6

Calcular \mathbb{P}(X=5) (uma dada página tem exatamente cinco erros).
Usando Poisson com \lambda=1:
\mathbb{P}(X=5)\approx e^{-1}\frac{1^{5}}{5!}=e^{-1}\frac{1}{120}.
Como e^{-1}\approx 0,3678794412, então
\mathbb{P}(X=5)\approx \frac{0,3678794412}{120}\approx 0,00306566.
Arredondando, podemos dar \mathbb{P}(X=5)\approx 0,003066.

Resposta

a) \mathbb{P}(X=0)\approx 0,3679
b) \mathbb{P}(X=1)\approx 0,3679
c) \mathbb{P}(X=5)\approx 0,003066

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