- Em um modelo simples de rede social podemos imaginar que duas pessoas são amigas através de um evento aleatório de probabilidade p. Ou seja, em um grupo de n pessoas se pegarmos duas pessoas quaisquer, a probabilidade delas serem amigas é p. Mostre que a probabilidade de uma pessoa qualquer ter k amigos é dada por.
Calcule o valor esperado de k e mostre que é dado por
o que isso significa? A distribuição de probabilidade
parece ser realista para você? É possível estimar uma distribuição mais realista?
Passo 1
O enunciado dá um grupo com
pessoas e diz que, para qualquer par de pessoas, a probabilidade de elas serem amigas é
(evento aleatório com probabilidade
). As perguntas do enunciado são:
- Mostrar que a probabilidade de uma pessoa qualquer ter
amigos é dada por uma expressão (o enunciado mostrou uma fórmula, que vamos verificar). - Calcular o valor esperado de
e mostrar que é igual a um certo valor indicado (o enunciado escreveu — vamos interpretar e corrigir isso). - Explicar o significado desse valor esperado.
- Dizer se a distribuição
é realista para redes sociais e, se não for, se é possível estimar uma distribuição mais realista.
Informações relevantes: número de pessoas
, probabilidade de amizade entre duas pessoas quaisquer
, e estamos interessados no número de amigos
de uma pessoa fixa.
Passo 2
Modelagem: fixo uma pessoa
for amiga da pessoa
},\[4pt] 0, & caso contrário. \end{cases}]
Pelo enunciado, cada
é uma variável de Bernoulli com parâmetro
: isto é,
e
. Assumimos também (pelo modelo simples dado) que as ligações com pessoas distintas são independentes.
O número total de amigos de
é a soma
Portanto
é a soma de
ensaios de Bernoulli independentes com probabilidade
— isto é exatamente uma variável aleatória binomial com parâmetros
e
.]
Passo 3
Fórmula da distribuição binomial (explicando por que): Para obter exatamente
amigos, é preciso escolher quais
entre as
pessoas serão amigas (há
escolhas), e para uma escolha fixa a probabilidade de que essas
pessoas sejam amigas e as outras
não sejam é
. Juntando as escolhas, a probabilidade é
Escrevendo a combinação em termos de fatoriais:
logo a expressão completa é
Observação importante: a expressão que veio no enunciado estava faltando o fator
no denominador da combinação; a forma correta é a que acabo de escrever.
Passo 4
Breve “aula” sobre o que cada símbolo significa:
-
é o número total de pessoas do grupo. -
é o número de possíveis amigos para uma pessoa fixa. -
é um número inteiro entre e : o número de amigos que essa pessoa tem. -
é a probabilidade (independente e igual para cada par) de amizade entre duas pessoas. -
conta de quantas formas diferentes se pode escolher quais pessoas (entre ) são as amigas. -
é a probabilidade de um padrão específico com exatamente amizades e não-amizades.
Passo 5
Cálculo do valor esperado
. Duas maneiras didáticas:
Maneira 1 — linearidade da esperança (mais simples e recomendada na prova):
Mas
para cada
. Portanto
Maneira 2 — soma direta com a fórmula binomial (útil para ver propriedades):
A média de uma é
. Aqui
, então
. (Se for preciso na prova, pode justificar essa identidade usando somas e a propriedade do binômio.)
A média de uma
Observação sobre a notação confusa do enunciado: provavelmente a fórmula pretendida era
ou seja,
multiplicado por
. Não faz sentido interpretar
como
porque isso não corresponde à média.
Passo 6
Interpretação do resultado
:
- Significado prático: em média, uma pessoa tem
amigos. Isso é intuitivo: cada uma das possíveis conexões tem probabilidade de existir, então a soma das probabilidades dá o número médio de conexões. - Exemplos extremos:
- Se
então : ninguém tem amigos. - Se
então : cada pessoa é amiga de todas as outras (grau máximo). - Se
grande e pequeno com fixo, a distribuição binomial tende à Poisson de média :
- Se
Passo 7
Variança (complemento útil para entender dispersão): a variância de
na binomial é
Isso diz quão espalhados estão os graus em torno da média. Note que a variância é do mesmo ordem da média (quando
não é muito próximo de
ou
).
Passo 8
A distribuição binomial é simples e matematicamente conveniente, mas é realista para redes sociais? Argumentos:
- Em muitas redes sociais reais o grau (número de amigos) apresenta grande heterogeneidade: há poucas pessoas com graus muito altos (hubs) e muitas com graus baixos — isto é, caudas pesadas (heavy tails). A binomial (ou Poisson) tem cauda muito mais curta e concentra a massa em torno da média.
- Redes reais também mostram alta clusterização (amigos dos meus amigos têm maior probabilidade de serem amigos entre si), correlações de grau (pessoas com muitos amigos tendem a se conectar a outras com muitos ou poucos amigos de formas específicas), e mecanismos de crescimento (preferência por conectar-se a nós muito conectados).
- Conclusão: o modelo Erdős–Rényi (o descrito pelo enunciado) costuma ser irrealista para descrever redes sociais reais.
Passo 9
Estimar uma distribuição mais realista — possibilidades e como proceder:
- Modelos que geram distribuições mais realistas:
- Modelo de preferential attachment (Barabási–Albert): produz distribuição de grau com cauda em lei de potência (aproximadamente
). - Modelos de configuração: permite forçar uma sequência de graus observada e estudar propriedades.
- Modelos com distribuição negativa binomial ou log-normal de graus, que têm maior variância e caudas mais pesadas que a binomial.
- Modelos small-world (Watts–Strogatz) capturam alta clusterização e curta distância média.
- Modelo de preferential attachment (Barabási–Albert): produz distribuição de grau com cauda em lei de potência (aproximadamente
- Como estimar na prática a distribuição do grau a partir de dados:
- Medir os graus de todos os nós e montar o histograma empírico
. - Escolher famílias de distribuições candidatas (power-law, log-normal, negative binomial, etc.).
- Ajustar parâmetros por máxima verossimilhança (MLE) e comparar ajustes com testes (Kolmogorov–Smirnov, razão de verossimilhança) e critérios de informação (AIC, BIC).
- Visualizar em escala log-log para detectar cauda de potência e em escala log-linear para cauda exponencial; verificar robustez do ajuste.
- Medir os graus de todos os nós e montar o histograma empírico
- Em resumo: sim, é possível e comum estimar distribuições mais realistas a partir de dados, e costuma-se usar modelos que permitem caudas pesadas (power-law, log-normal) ou modelos de geração (preferential attachment) que explicam mecanicamente a forma observada.
Passo 10
Pequeno exemplo numérico para fixar (prática de prova): se
e
, então
e
A probabilidade de exatamente
amigos é
ou, usando aproximação de Poisson com
,
Resposta
Significado: é o número médio de amigos de uma pessoa (cada uma das
A distribuição não é muito realista para redes sociais reais (não captura caudas pesadas, alta clusterização e correlações de grau).
É possível estimar distribuições mais realistas; modelos como preferential attachment (gera lei de potência), log-normal ou negative binomial e procedimentos de ajuste (MLE, testes KS, AIC/BIC) costumam ser usados para ajustar a distribuição de grau observada.