1. Em um modelo simples de rede social podemos imaginar que duas pessoas são amigas através de um evento aleatório de probabilidade p. Ou seja, em um grupo de n pessoas se pegarmos duas pessoas quaisquer, a probabilidade delas serem amigas é p. Mostre que a probabilidade de uma pessoa qualquer ter k amigos é dada por.
P(k)=\frac{(n-1)!}{(n-1)!(n-1-k)!} p^{k}(1-p)^{n-1-k}
Calcule o valor esperado de k e mostre que é dado por \langle\mathbf{k}\rangle=\boldsymbol{P}^{(\boldsymbol{n}-\mathbf{1})} o que isso significa? A distribuição de probabilidade \mathrm{P}(\mathrm{k}) parece ser realista para você? É possível estimar uma distribuição mais realista?

Passo 1

O enunciado dá um grupo com n pessoas e diz que, para qualquer par de pessoas, a probabilidade de elas serem amigas é p (evento aleatório com probabilidade p). As perguntas do enunciado são:
  • Mostrar que a probabilidade de uma pessoa qualquer ter k amigos é dada por uma expressão (o enunciado mostrou uma fórmula, que vamos verificar).
  • Calcular o valor esperado de k e mostrar que é igual a um certo valor indicado (o enunciado escreveu \langle\mathbf{k}\rangle=\boldsymbol{P}^{(\boldsymbol{n}-\mathbf{1})} — vamos interpretar e corrigir isso).
  • Explicar o significado desse valor esperado.
  • Dizer se a distribuição \mathrm{P}(k) é realista para redes sociais e, se não for, se é possível estimar uma distribuição mais realista.
Informações relevantes: número de pessoas n, probabilidade de amizade entre duas pessoas quaisquer p, e estamos interessados no número de amigos k de uma pessoa fixa.

Passo 2

Modelagem: fixo uma pessoa A\). Há \(n-1\) outras pessoas que podem ser amigas de \(A\). Para cada outra pessoa \(i=1,\dots,n-1\) defino a variável indicadora \[X_i = \begin{cases} 1, & \text{se \(A for amiga da pessoa i},\[4pt] 0, & caso contrário. \end{cases}]
Pelo enunciado, cada X_i é uma variável de Bernoulli com parâmetro p: isto é, \Pr(X_i=1)=p e \Pr(X_i=0)=1-p. Assumimos também (pelo modelo simples dado) que as ligações com pessoas distintas são independentes.
O número total de amigos de A é a soma
K = \sum_{i=1}^{n-1} X_i.
Portanto K é a soma de n-1 ensaios de Bernoulli independentes com probabilidade p — isto é exatamente uma variável aleatória binomial com parâmetros n-1 e p.]

Passo 3

Fórmula da distribuição binomial (explicando por que): Para obter exatamente k amigos, é preciso escolher quais k entre as n-1 pessoas serão amigas (há \binom{n-1}{k} escolhas), e para uma escolha fixa a probabilidade de que essas k pessoas sejam amigas e as outras n-1-k não sejam é p^{k}(1-p)^{\,n-1-k}. Juntando as escolhas, a probabilidade é
\Pr(K=k)=\binom{n-1}{k} p^{k}(1-p)^{\,n-1-k}.
Escrevendo a combinação em termos de fatoriais:
\binom{n-1}{k}=\frac{(n-1)!}{k!(n-1-k)!},
logo a expressão completa é
\Pr(K=k)=\frac{(n-1)!}{k!(n-1-k)!}\; p^{k}(1-p)^{\,n-1-k}.
Observação importante: a expressão que veio no enunciado estava faltando o fator k! no denominador da combinação; a forma correta é a que acabo de escrever.

Passo 4

Breve “aula” sobre o que cada símbolo significa:
  • n é o número total de pessoas do grupo.
  • n-1 é o número de possíveis amigos para uma pessoa fixa.
  • k é um número inteiro entre 0 e n-1: o número de amigos que essa pessoa tem.
  • p é a probabilidade (independente e igual para cada par) de amizade entre duas pessoas.
  • \binom{n-1}{k} conta de quantas formas diferentes se pode escolher quais k pessoas (entre n-1) são as amigas.
  • p^{k}(1-p)^{\,n-1-k} é a probabilidade de um padrão específico com exatamente k amizades e n-1-k não-amizades.

Passo 5

Cálculo do valor esperado \langle k\rangle = \mathbb{E}[K]. Duas maneiras didáticas:
Maneira 1 — linearidade da esperança (mais simples e recomendada na prova):
\mathbb{E}[K]=\mathbb{E}\Big[\sum_{i=1}^{n-1} X_i\Big]=\sum_{i=1}^{n-1}\mathbb{E}[X_i].
Mas \mathbb{E}[X_i]=1\cdot p + 0\cdot(1-p)=p para cada i. Portanto
\mathbb{E}[K]=\sum_{i=1}^{n-1} p = (n-1)\,p.
Maneira 2 — soma direta com a fórmula binomial (útil para ver propriedades):
A média de uma \mathrm{Binomial}(m,p) é mp. Aqui m=n-1, então \mathbb{E}[K]=(n-1)p. (Se for preciso na prova, pode justificar essa identidade usando somas e a propriedade do binômio.)
Observação sobre a notação confusa do enunciado: provavelmente a fórmula pretendida era
\langle k\rangle = (n-1)\,p,
ou seja, p multiplicado por n-1. Não faz sentido interpretar \boldsymbol{P}^{(\boldsymbol{n}-\mathbf{1})} como p^{\,n-1} porque isso não corresponde à média.

Passo 6

Interpretação do resultado \langle k\rangle=(n-1)p:
  • Significado prático: em média, uma pessoa tem (n-1)p amigos. Isso é intuitivo: cada uma das n-1 possíveis conexões tem probabilidade p de existir, então a soma das probabilidades dá o número médio de conexões.
  • Exemplos extremos:
    • Se p=0 então \langle k\rangle=0: ninguém tem amigos.
    • Se p=1 então \langle k\rangle=n-1: cada pessoa é amiga de todas as outras (grau máximo).
    • Se n grande e p pequeno com \lambda=(n-1)p fixo, a distribuição binomial tende à Poisson de média \lambda: \Pr(K=k)\approx e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}.

Passo 7

Variança (complemento útil para entender dispersão): a variância de K na binomial é
\mathrm{Var}(K)=(n-1)p(1-p).
Isso diz quão espalhados estão os graus em torno da média. Note que a variância é do mesmo ordem da média (quando p não é muito próximo de 0 ou 1).

Passo 8

A distribuição binomial é simples e matematicamente conveniente, mas é realista para redes sociais? Argumentos:
  • Em muitas redes sociais reais o grau (número de amigos) apresenta grande heterogeneidade: há poucas pessoas com graus muito altos (hubs) e muitas com graus baixos — isto é, caudas pesadas (heavy tails). A binomial (ou Poisson) tem cauda muito mais curta e concentra a massa em torno da média.
  • Redes reais também mostram alta clusterização (amigos dos meus amigos têm maior probabilidade de serem amigos entre si), correlações de grau (pessoas com muitos amigos tendem a se conectar a outras com muitos ou poucos amigos de formas específicas), e mecanismos de crescimento (preferência por conectar-se a nós muito conectados).
  • Conclusão: o modelo Erdős–Rényi (o descrito pelo enunciado) costuma ser irrealista para descrever redes sociais reais.

Passo 9

Estimar uma distribuição mais realista — possibilidades e como proceder:
  • Modelos que geram distribuições mais realistas:
    • Modelo de preferential attachment (Barabási–Albert): produz distribuição de grau com cauda em lei de potência (aproximadamente \Pr(k)\propto k^{-\gamma}).
    • Modelos de configuração: permite forçar uma sequência de graus observada e estudar propriedades.
    • Modelos com distribuição negativa binomial ou log-normal de graus, que têm maior variância e caudas mais pesadas que a binomial.
    • Modelos small-world (Watts–Strogatz) capturam alta clusterização e curta distância média.
  • Como estimar na prática a distribuição do grau a partir de dados:
    1. Medir os graus de todos os nós e montar o histograma empírico \hat{P}(k).
    2. Escolher famílias de distribuições candidatas (power-law, log-normal, negative binomial, etc.).
    3. Ajustar parâmetros por máxima verossimilhança (MLE) e comparar ajustes com testes (Kolmogorov–Smirnov, razão de verossimilhança) e critérios de informação (AIC, BIC).
    4. Visualizar em escala log-log para detectar cauda de potência e em escala log-linear para cauda exponencial; verificar robustez do ajuste.
  • Em resumo: sim, é possível e comum estimar distribuições mais realistas a partir de dados, e costuma-se usar modelos que permitem caudas pesadas (power-law, log-normal) ou modelos de geração (preferential attachment) que explicam mecanicamente a forma observada.

Passo 10

Pequeno exemplo numérico para fixar (prática de prova): se n=101 e p=0{,}05, então n-1=100 e
\langle k\rangle=(n-1)p=100\cdot0{,}05=5.
A probabilidade de exatamente k=5 amigos é
\Pr(K=5)=\binom{100}{5}(0{,}05)^{5}(0{,}95)^{95},
ou, usando aproximação de Poisson com \lambda=5,
\Pr(K=5)\approx e^{-5}\frac{5^{5}}{5!}.

Resposta

\displaystyle \Pr(K=k)=\binom{n-1}{k} p^{k}(1-p)^{\,n-1-k}=\frac{(n-1)!}{k!(n-1-k)!}\;p^{k}(1-p)^{\,n-1-k}
\displaystyle \langle k\rangle=(n-1)\,p
Significado: é o número médio de amigos de uma pessoa (cada uma das n-1 possíveis conexões contribui com probabilidade p).
A distribuição não é muito realista para redes sociais reais (não captura caudas pesadas, alta clusterização e correlações de grau).
É possível estimar distribuições mais realistas; modelos como preferential attachment (gera lei de potência), log-normal ou negative binomial e procedimentos de ajuste (MLE, testes KS, AIC/BIC) costumam ser usados para ajustar a distribuição de grau observada.

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