A probabilidade de que um evento caracterizado pela probabilidade p ocorra n vezes num total de N tentativas é dada pela distribuição binomial.
W(n)=\frac{N!}{n!(N-n)!} p^{n}(1-p)^{N-n}
Considere uma situação em que p seja pequeno ( p \ll 1 ) e que , portanto, W(n) seja apreciavelmente diferente de zero e apenas para n \ll N. Nessas circunstâncias, mostre que.
w(n) \sim \frac{\lambda^{n}}{n!} \exp (-\lambda)
Onde \lambda=\mathrm{Np} é o número médio de eventos. Esta é a chamada distribuição de Poisson. Formule um problema estatístico que poderia ser resolvido em termos dessa distribuição.
Passo 1
O enunciado dá a distribuição binomial e pede para mostrar que, sob certas hipóteses, ela tende para a forma de Poisson. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Foi dada a distribuição binomial:
W(n)=\frac{N!}{n!(N-n)!}\,p^{n}(1-p)^{N-n}.
Hipóteses fornecidas:
p é pequeno: p \ll 1.
W(n) é apreciavelmente diferente de zero só para n muito menor que N: n \ll N.
Definir \lambda=\mathrm{N}p (número médio de eventos) e mostrar que, nessas circunstâncias,
w(n)\sim\frac{\lambda^{n}}{n!}\,\exp(-\lambda).
Além disso, foi pedido formular um problema estatístico que possa ser resolvido com essa distribuição.
No próximo passo começamos a transformar a fórmula e aplicar as aproximações necessárias.
Passo 2
Reescrever a combinação \dfrac{N!}{n!(N-n)!} como produto para poder aproximá-la facilmente.
Expliquei acima cada termo: a parte \lambda^{n}/n! já aparece isolada; o resto precisa ser aproximado.
Passo 4
Analisar o produto
A=\prod_{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{k}{N}\right).
Cada fator tem a forma 1-k/N. Como n\ll N, então para todos os k relevantes temos k/N\ll1. Para números pequenos x vale 1-x \approx e^{-x}, mas aqui é suficiente usar a aproximação em ordem zero:
Segundo, (1-p)^{-n}\approx 1 porque n é pequeno e p é pequeno (mais precisamente (1-p)^{-n}=\exp(-n\ln(1-p))\approx\exp(np)\approx1 já que np\ll1 quando n\ll N e p\ll1). Assim
(1-p)^{N-n}\approx\exp(-\lambda).
Passo 6
Juntando as aproximações dos Passos 4 e 5 na expressão do Passo 3:
Portanto, na situação considerada obtemos a distribuição de Poisson:
w(n)\sim\frac{\lambda^{n}}{n!}\,\exp(-\lambda).
Isto é, a probabilidade de ocorrer exatamente n eventos quando o número médio é \lambda é dada por essa fórmula.
Passo 7
Comentário didático sobre validade e interpretação:
A ideia física/probabilística é que temos muitas tentativas N (grande), cada tentativa tem pequena probabilidade p de “sucesso”, e esperamos um número médio finito \lambda=Np de sucessos. Então os sucessos são raros e praticamente independentes; o número de sucessos distribuído aproximadamente como Poisson.
Resumo das condições necessárias para a aproximação: N\to\infty, p\to0 tais que \lambda=Np permanece finito; e números n considerados satisfazem n\ll N (ou seja, não se aproxima de N).
Passo 8
Formular um problema estatístico resolvível com a distribuição de Poisson (exemplo prático e típico, com enunciado claro):
Problema proposto:
“Em uma linha de montagem, itens defeituosos aparecem raramente. Em média surgem \lambda=2 peças defeituosas por dia. Qual é a probabilidade de, em um dia dado, aparecer exatamente n peças defeituosas? E qual a probabilidade de aparecer no máximo 1 defeituoso nesse dia?”
Como resolver (resumo da aplicação):
A distribuição do número n de defeitos em um dia é aproximadamente Poisson com parâmetro \lambda=2.
\displaystyle w(n)=\frac{\lambda^{n}}{n!}\,\exp(-\lambda), com \lambda=Np.\nEm uma linha de montagem com média \lambda=2 defeitos por dia, a probabilidade de exatamente n defeitos é P(n)=\dfrac{2^{n}}{n!}e^{-2} e a probabilidade de no máximo 1 defeito é P(n\le 1)=e^{-2}(1+2).