1. A probabilidade de que um evento caracterizado pela probabilidade p ocorra n vezes num total de N tentativas é dada pela distribuição binomial.
W(n)=\frac{N!}{n!(N-n)!} p^{n}(1-p)^{N-n}
Considere uma situação em que p seja pequeno ( p \ll 1 ) e que , portanto, W(n) seja apreciavelmente diferente de zero e apenas para n \ll N. Nessas circunstâncias, mostre que.
w(n) \sim \frac{\lambda^{n}}{n!} \exp (-\lambda)
Onde \lambda=\mathrm{Np} é o número médio de eventos. Esta é a chamada distribuição de Poisson. Formule um problema estatístico que poderia ser resolvido em termos dessa distribuição.

Passo 1

O enunciado dá a distribuição binomial e pede para mostrar que, sob certas hipóteses, ela tende para a forma de Poisson. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
  • Foi dada a distribuição binomial:
W(n)=\frac{N!}{n!(N-n)!}\,p^{n}(1-p)^{N-n}.
  • Hipóteses fornecidas:
    • p é pequeno: p \ll 1.
    • W(n) é apreciavelmente diferente de zero só para n muito menor que N: n \ll N.
  • Definir \lambda=\mathrm{N}p (número médio de eventos) e mostrar que, nessas circunstâncias,
w(n)\sim\frac{\lambda^{n}}{n!}\,\exp(-\lambda).
  • Além disso, foi pedido formular um problema estatístico que possa ser resolvido com essa distribuição.
No próximo passo começamos a transformar a fórmula e aplicar as aproximações necessárias.

Passo 2

Reescrever a combinação \dfrac{N!}{n!(N-n)!} como produto para poder aproximá-la facilmente.
Usamos a identidade
\frac{N!}{(N-n)!}=N(N-1)(N-2)\cdots(N-n+1).
Portanto
\frac{N!}{n!(N-n)!}=\frac{N(N-1)\cdots(N-n+1)}{n!}.
Escrever desse jeito facilita ver como esse fator se comporta quando N é grande e n é pequeno.

Passo 3

Substituir p por \lambda/N na expressão original, porque \lambda=Np. Assim
W(n)=\frac{N(N-1)\cdots(N-n+1)}{n!}\left(\frac{\lambda}{N}\right)^{n}(1-p)^{N-n}.
Agrupando os fatores em N temos
W(n)=\frac{\lambda^{n}}{n!}\,\underbrace{\left[\prod_{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{k}{N}\right)\right]}_{\text{produto }A}\,(1-p)^{N-n}.
Expliquei acima cada termo: a parte \lambda^{n}/n! já aparece isolada; o resto precisa ser aproximado.

Passo 4

Analisar o produto
A=\prod_{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{k}{N}\right).
Cada fator tem a forma 1-k/N. Como n\ll N, então para todos os k relevantes temos k/N\ll1. Para números pequenos x vale 1-x \approx e^{-x}, mas aqui é suficiente usar a aproximação em ordem zero:
1-\frac{k}{N}\approx 1 \quad\text{quando}\quad \frac{k}{N}\ll1.
Portanto o produto A está muito próximo de 1. Mais formalmente, tomando logaritmo:
\ln A=\sum_{k=0}^{n-1}\ln\!\left(1-\frac{k}{N}\right)\approx -\sum_{k=0}^{n-1}\frac{k}{N}= -\frac{1}{N}\cdot\frac{n(n-1)}{2},
e como n(n-1)/(2N)\ll1 (pois n\ll N), obtemos \ln A\approx 0 e assim A\approx1. Conclusão:
\prod_{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{k}{N}\right)\approx 1.

Passo 5

Analisar o fator (1-p)^{N-n}. Escrever
(1-p)^{N-n}=(1-p)^{N}\,(1-p)^{-n}.
Primeiro, para p\ll1 podemos usar a aproximação de primeira ordem do logaritmo:
\ln(1-p)\approx -p.
Logo
(1-p)^{N}=\exp\big(N\ln(1-p)\big)\approx\exp(-Np)=\exp(-\lambda).
Segundo, (1-p)^{-n}\approx 1 porque n é pequeno e p é pequeno (mais precisamente (1-p)^{-n}=\exp(-n\ln(1-p))\approx\exp(np)\approx1 já que np\ll1 quando n\ll N e p\ll1). Assim
(1-p)^{N-n}\approx\exp(-\lambda).

Passo 6

Juntando as aproximações dos Passos 4 e 5 na expressão do Passo 3:
W(n)\approx\frac{\lambda^{n}}{n!}\cdot 1\cdot \exp(-\lambda).
Portanto, na situação considerada obtemos a distribuição de Poisson:
w(n)\sim\frac{\lambda^{n}}{n!}\,\exp(-\lambda).
Isto é, a probabilidade de ocorrer exatamente n eventos quando o número médio é \lambda é dada por essa fórmula.

Passo 7

Comentário didático sobre validade e interpretação:
  • A ideia física/probabilística é que temos muitas tentativas N (grande), cada tentativa tem pequena probabilidade p de “sucesso”, e esperamos um número médio finito \lambda=Np de sucessos. Então os sucessos são raros e praticamente independentes; o número de sucessos distribuído aproximadamente como Poisson.
  • Resumo das condições necessárias para a aproximação: N\to\infty, p\to0 tais que \lambda=Np permanece finito; e números n considerados satisfazem n\ll N (ou seja, não se aproxima de N).

Passo 8

Formular um problema estatístico resolvível com a distribuição de Poisson (exemplo prático e típico, com enunciado claro):
Problema proposto:
“Em uma linha de montagem, itens defeituosos aparecem raramente. Em média surgem \lambda=2 peças defeituosas por dia. Qual é a probabilidade de, em um dia dado, aparecer exatamente n peças defeituosas? E qual a probabilidade de aparecer no máximo 1 defeituoso nesse dia?”
Como resolver (resumo da aplicação):
  • A distribuição do número n de defeitos em um dia é aproximadamente Poisson com parâmetro \lambda=2.
  • A probabilidade de exatamente n defeitos é
P(n)=\frac{2^{n}}{n!}\,e^{-2}.
  • A probabilidade de no máximo 1 defeituoso é
P(n\le 1)=P(0)+P(1)=e^{-2}+\frac{2^{1}}{1!}e^{-2}=e^{-2}(1+2).

Resposta

\displaystyle w(n)=\frac{\lambda^{n}}{n!}\,\exp(-\lambda), com \lambda=Np.\nEm uma linha de montagem com média \lambda=2 defeitos por dia, a probabilidade de exatamente n defeitos é P(n)=\dfrac{2^{n}}{n!}e^{-2} e a probabilidade de no máximo 1 defeito é P(n\le 1)=e^{-2}(1+2).

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