Se jogarmos 5 moedas, simultaneamente, qual é a probabilidade de obtermos 3 caras e 2 coroas? (R: 31,25%)

Passo 1

O enunciado diz que lançamos simultaneamente 5 moedas (justas) e queremos a probabilidade de sair exatamente 3 caras e 2 coroas. O conteúdo aqui é a distribuição binomial, pois cada moeda é um ensaio de Bernoulli com probabilidade de cara p=\tfrac12 e número de ensaios n=5. Vamos usar a fórmula
P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{\,n-k}
para n=5, k=3 e p=\tfrac12.

Passo 2

Calcular o coeficiente binomial \binom{5}{3}, que conta de quantas formas podemos escolher quais 3 lançamentos serão caras entre os 5. Temos
\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!\,2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10.

Passo 3

Cada configuração de 3 caras e 2 coroas tem probabilidade (\tfrac12)^3 \times (\tfrac12)^2 = (\tfrac12)^5. Logo,
p^3(1-p)^{2} = \Bigl(\tfrac12\Bigr)^5 = \frac{1}{32}.

Passo 4

Multiplicando o número de configurações pelo peso de cada uma, obtemos
P(X=3) = \binom{5}{3}\,\Bigl(\tfrac12\Bigr)^5 = 10 \times \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = 0,3125.

Resposta

A probabilidade de obter exatamente 3 caras e 2 coroas em 5 lançamentos é 0,3125, ou seja, 31,25\%.

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