(a) Prove quea razão da altura máxima H pelo alcance R, para um projétil atirado do nível do solo com um ângulo \theta, acima da horizontal é dada por \mathrm{H} / \mathrm{R}=(\tan (\theta) / 4. (b) Para que ângulo \theta temos \mathrm{H}=\mathrm{R} ?

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos um projétil lançado do nível do solo com velocidade inicial v_0 e ângulo \theta acima da horizontal. Precisamos mostrar que a razão entre a altura máxima H e o alcance R satisfaz
\frac{H}{R} = \frac{\tan(\theta)}{4},
e, em seguida, determinar para qual \theta ocorre H = R. Vamos usar as fórmulas clássicas de movimento retilíneo uniformemente variado para as componentes vertical e horizontal.

Passo 2

Vamos primeiro calcular a altura máxima H. A componente vertical da velocidade é v_{0y} = v_0\sin(\theta). No ponto de altura máxima, a velocidade vertical zera, e o tempo até ali é
t_H = \frac{v_0\sin(\theta)}{g}.
Substituindo na equação do deslocamento vertical,
H = v_0\sin(\theta)\,t_H - \tfrac12\,g\,t_H^{2}
H = v_0\sin(\theta)\,\frac{v_0\sin(\theta)}{g} \;-\;\tfrac12\,g\left(\frac{v_0\sin(\theta)}{g}\right)^{\!2}
H = \frac{v_0^2\sin^{2}(\theta)}{g} \;-\;\frac{v_0^2\sin^{2}(\theta)}{2g} = \frac{v_0^2\sin^{2}(\theta)}{2g}.

Passo 3

Agora o alcance R. O tempo total de voo é duas vezes t_H, pois o projétil sobe e desce simetricamente:
T = 2\,t_H = \frac{2\,v_0\sin(\theta)}{g}.
A componente horizontal da velocidade é v_{0x} = v_0\cos(\theta), logo
R = v_0\cos(\theta)\,T = v_0\cos(\theta)\,\frac{2\,v_0\sin(\theta)}{g} = \frac{2\,v_0^2\sin(\theta)\cos(\theta)}{g} = \frac{v_0^2\sin\bigl(2\theta\bigr)}{g}.

Passo 4

Fazendo a razão \tfrac{H}{R}, temos
\frac{H}{R} = \frac{\dfrac{v_0^2\sin^{2}(\theta)}{2g}}{\dfrac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}} = \frac{\sin^{2}(\theta)}{2\,\sin(2\theta)} = \frac{\sin^{2}(\theta)}{2\,(2\sin(\theta)\cos(\theta))} = \frac{\sin(\theta)}{4\cos(\theta)} = \frac{\tan(\theta)}{4}.

Passo 5

Para H=R basta pôr \tfrac{H}{R}=1:
\frac{\tan(\theta)}{4} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \tan(\theta) = 4 \quad\Longrightarrow\quad \theta = \arctan(4).

Resposta

(a) \displaystyle \frac{H}{R} = \frac{\tan(\theta)}{4}.
(b) \displaystyle \theta = \arctan(4).

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