Em um jogo de bilhar, uma bola atinge outra bola com igual massa que está inicialmente em repouso. Após a colisão, a primeira bola move-se com 3,50 m / s ao longo de uma linha que faz um ângulo de 65,0^circ com a direção do seu movimento original. A segunda bola adquire uma velocidade de 6,75 m / s. Usando a conservação da quantidade de movimento, encontre: calcule a velocidade do centro de massa vCM antes e depois da colisão.

Passo 1

Beleza, então o problema diz que temos duas bolas de bilhar com a mesma massa. A bola 1 chega com certa velocidade, bate na bola 2 (que estava parada) e depois de colidir elas saem com velocidades dadas:
  • Bola 1: 3,50 m/s fazendo 65° em relação à direção original (eixo x).
  • Bola 2: 6,75 m/s na direção original (eixo x).
O conteúdo aqui é Conservação da Quantidade de Movimento (momentum) e velocidade do Centro de Massa. Vamos precisar:
  1. Escrever o vetor da quantidade de movimento antes e depois.
  2. A fórmula da velocidade do CM.
  3. Calcular componentes, achar a velocidade inicial da bola 1, daí o CM antes e ver que o CM depois é o mesmo.

Passo 2

Teoria do Centro de Massa: se não há forças externas, a velocidade do CM é
vCM = m1 v1 + m2 v2m1 + m2
Como as massas são iguais ( vCM = v1 + v22 ), fica

Passo 3

Conservação da quantidade de movimento (vetorial):
m, v1i + m, v2i = m, v1f + m, v2f
Antes, a bola 2 está parada ( v1i = v1f + v2f ), então

Passo 4

Vamos decompor v1f,x = 3,50cos65^circ, v1f,y = 3,50sin65^circ em x e y.
v2f,x = 6,75, v2f,y=0
E só tem componente x:

Passo 5

Então
v1i,x = v1f,x + v2f,x = 3,50cos65^circ + 6,75,
v1i,y = v1f,y + 0 = 3,50sin65^circ
Numericamente:
v1i,x approx 3,50cdot0,4226 + 6,75 = 1,48 + 6,75 = 8,23 m/s,
v1i,y approx 3,50cdot0,9063 = 3,17 m/s
A velocidade inicial da bola 1 tem módulo
| v1i| = raiz(8,23)^2 + (3,17)^2 approx 8,82 m/s

Passo 6

Agora o CM antes da colisão:
vCM = v1i + 02 = l(8,232,,3,172r) = (4,115,;1,585) m/s
O módulo disso é
vCM = raiz4,115^2 + 1,585^2 approx 4,41 m/s

Passo 7

Como não há força externa, a velocidade do CM não muda na colisão. Logo
vCM,depois = vCM,antes

Resposta

v_{CM} antes = 4,41 m/s
v_{CM} depois = 4,41 m/s

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