E um jogo de bingo são utilizados os 48 primeiros números naturais não nulos, ou seja, números de 1 até 48. Calcule a probabilidade de obter números:
(a) múltiplos de 2 e de 3 ;
(a) múltiplos de 2 e de 3 ;
Passo 1
O enunciado dá que os números usados no bingo são os
até
. A pergunta (parte (a)) é: qual a probabilidade de obter um número que seja múltiplo de
e de
ao sortear um número aleatoriamente entre esses
números?
Informações relevantes fornecidas: a
(inclusive) são os possíveis resultados; queremos a probabilidade do evento "múltiplo de
e de
".
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Definimos o espaço amostral (todos os resultados possíveis) e seu tamanho. Como todos os números
até
são igualmente possíveis,
onde
é o número total de resultados possíveis.
Passo 3
Entender o que significa "múltiplos de
e de
". Um número que é múltiplo de
e de
ao mesmo tempo é divisível por ambos. O menor número positivo que é múltiplo de
e
ao mesmo tempo é o mínimo múltiplo comum, isto é, o
de
e
. Calculamos
Ou seja, os números que queremos são exatamente os múltiplos de
.
Passo 4
Contar quantos múltiplos de
existem entre
e
. Em geral, o número de múltiplos de um inteiro
entre
e
é
. Aqui
e
, então
Podemos listar esses múltiplos para conferir:
— são
números.
Passo 5
Agora usamos a definição clássica de probabilidade em um espaço equiprovável: a probabilidade de um evento é o número de resultados favoráveis dividido pelo número total de resultados. Seja
o número de resultados favoráveis; temos
. Assim
Passo 6
Simplificamos a fração
. Dividindo numerador e denominador por
obtemos
Em forma decimal isso é aproximadamente
e em porcentagem
. Dica para a prova: sempre conte os múltiplos com
e reduza a fração ao máximo.