E um jogo de bingo são utilizados os 48 primeiros números naturais não nulos, ou seja, números de 1 até 48. Calcule a probabilidade de obter números:
(a) múltiplos de 2 e de 3 ;

Passo 1

O enunciado dá que os números usados no bingo são os 1 até 48. A pergunta (parte (a)) é: qual a probabilidade de obter um número que seja múltiplo de 2 e de 3 ao sortear um número aleatoriamente entre esses 48 números?
Informações relevantes fornecidas: 1 a 48 (inclusive) são os possíveis resultados; queremos a probabilidade do evento "múltiplo de 2 e de 3".

Passo 2

Definimos o espaço amostral (todos os resultados possíveis) e seu tamanho. Como todos os números 1 até 48 são igualmente possíveis,
N = 48
onde N é o número total de resultados possíveis.

Passo 3

Entender o que significa "múltiplos de 2 e de 3". Um número que é múltiplo de 2 e de 3 ao mesmo tempo é divisível por ambos. O menor número positivo que é múltiplo de 2 e 3 ao mesmo tempo é o mínimo múltiplo comum, isto é, o \mathrm{mcm} de 2 e 3. Calculamos
\mathrm{mcm}(2,3)=6.
Ou seja, os números que queremos são exatamente os múltiplos de 6.

Passo 4

Contar quantos múltiplos de 6 existem entre 1 e 48. Em geral, o número de múltiplos de um inteiro k entre 1 e n é \left\lfloor \dfrac{n}{k}\right\rfloor. Aqui n=48 e k=6, então
\left\lfloor \dfrac{48}{6}\right\rfloor = 8.
Podemos listar esses múltiplos para conferir: \{6,12,18,24,30,36,42,48\} — são 8 números.

Passo 5

Agora usamos a definição clássica de probabilidade em um espaço equiprovável: a probabilidade de um evento é o número de resultados favoráveis dividido pelo número total de resultados. Seja n_f o número de resultados favoráveis; temos n_f=8. Assim
P = \dfrac{n_f}{N} = \dfrac{8}{48}.

Passo 6

Simplificamos a fração \dfrac{8}{48}. Dividindo numerador e denominador por 8 obtemos
\dfrac{8}{48} = \dfrac{1}{6}.
Em forma decimal isso é aproximadamente \,0,1666\ldots e em porcentagem \,16,66\%. Dica para a prova: sempre conte os múltiplos com \left\lfloor \dfrac{n}{k}\right\rfloor e reduza a fração ao máximo.

Resposta

\dfrac{1}{6}

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